Calcule a área total englobada pela lemniscata .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área total da lemniscata definida por . Isso envolve conceitos de geometria analítica em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares e entender um pouco sobre simetria das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva. A lemniscata é uma figura em formato de oito ou de dois laços simétricos. Saber disso é importante porque facilita nosso cálculo ao identificar a simetria da curva.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração, ou seja, os valores de que delimitam um laço da lemniscata. Observando a equação , vemos que o raio é positivo quando é positivo, ou seja, para . Vamos focar em um dos laços e depois multiplicar por 2 para obter a área total.

Passo 4

A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é:
Onde e são os limites de . No nosso caso, para um laço, e , porque nesses pontos se anula, fechando o laço.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula substituindo :
ç
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então, substituindo:
Integrando termo a termo:
Sabendo que e :
Mas lembre-se, isso é só para um laço. Já que a curva tem dois laços iguais, multiplicamos por 2:

Resposta

A área total englobada pela lemniscata é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(d) $ cost, sent, .
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Desenhe as seguintes curvas:
$(j) cost , sent, bt) com e uma constante positiva arbitrária.
Responda os itens a seguir:
$(a) $ Parametrize a trajetória de uma partícula que se move em linha reta partindo do ponto com velocidade constante dada pelo vetor .