Calcule a área total englobada pela lemniscata
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área total da lemniscata definida por
. Isso envolve conceitos de geometria analítica em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares e entender um pouco sobre simetria das curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva. A lemniscata
é uma figura em formato de oito ou de dois laços simétricos. Saber disso é importante porque facilita nosso cálculo ao identificar a simetria da curva.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração, ou seja, os valores de
que delimitam um laço da lemniscata. Observando a equação
, vemos que o raio
é positivo quando
é positivo, ou seja, para
. Vamos focar em um dos laços e depois multiplicar por 2 para obter a área total.
Passo 4
A fórmula para calcular a área
em coordenadas polares é:
Onde
e
são os limites de
. No nosso caso, para um laço,
e
, porque nesses pontos
se anula, fechando o laço.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula substituindo
:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, substituindo:
Integrando termo a termo:
Sabendo que
e
:
Mas lembre-se, isso é só para um laço. Já que a curva tem dois laços iguais, multiplicamos por 2:
Resposta
A área total englobada pela lemniscata
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(d) $ cost,
sent,
.
$(d) $
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Desenhe as seguintes curvas:
$(j) cost , sent, bt) com
e
uma constante positiva arbitrária.
$(j)
Responda os itens a seguir:
$(a) $ Parametrize a trajetória de uma partícula que se move em linha reta partindo do ponto com velocidade constante dada pelo vetor
.
$(a) $ Parametrize a trajetória de uma partícula que se move em linha reta partindo do ponto