Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(d) $ d cost, gamma(t) = e^(-t) sent, e^(-t).

Passo 1

Vamos calcular o comprimento de arco da curva dada pela função paramétrica para t no intervalo [0,1]. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Precisaremos derivar gamma(t), encontrar a norma desse vetor derivado e então integrar essa norma de t = 0 a t = 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de gamma(t) em relação a t. Isso significa derivar cada componente da função:
Usando a regra do produto para derivar :
De forma semelhante, derivando :
E a derivada de e^(-t) é:
Portanto, a derivada completa fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma do vetor derivado . A norma de um vetor tridimensional (a, b, c) é dada por:
Aplicando isso à nossa derivada:
Simplificando cada termo:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Como , então:

Passo 4

Com a norma do vetor derivado encontrada, podemos montar a integral para o comprimento de arco:

Passo 5

Vamos calcular a integral:

Resposta

O comprimento de arco da curva é unidades.

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