Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(d) $ cost, sent, .

Passo 1

Vamos calcular o comprimento de arco da curva dada pela função paramétrica para no intervalo . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Precisaremos derivar , encontrar a norma desse vetor derivado e então integrar essa norma de a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Isso significa derivar cada componente da função:
Usando a regra do produto para derivar :
De forma semelhante, derivando :
E a derivada de é:
Portanto, a derivada completa fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma do vetor derivado . A norma de um vetor tridimensional é dada por:
Aplicando isso à nossa derivada:
Simplificando cada termo:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Como , então:

Passo 4

Com a norma do vetor derivado encontrada, podemos montar a integral para o comprimento de arco:

Passo 5

Vamos calcular a integral:

Resposta

O comprimento de arco da curva é unidades.

Exercícios relacionados

Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Desenhe as seguintes curvas:
$(k) sent com .
Calcule a área total englobada pela lemniscata .
Desenhe as seguintes curvas:
$(j) cost , sent, bt) com e uma constante positiva arbitrária.