Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(d) $
cost,
sent,
.
$(d) $
Passo 1
Vamos calcular o comprimento de arco da curva dada pela função paramétrica
para
no intervalo
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Precisaremos derivar
, encontrar a norma desse vetor derivado e então integrar essa norma de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Isso significa derivar cada componente da função:
Usando a regra do produto para derivar
:
De forma semelhante, derivando
:
E a derivada de
é:
Portanto, a derivada completa fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma do vetor derivado
. A norma de um vetor tridimensional
é dada por:
Aplicando isso à nossa derivada:
Simplificando cada termo:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Como
, então:
Passo 4
Com a norma do vetor derivado encontrada, podemos montar a integral para o comprimento de arco:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Desenhe as seguintes curvas:
$(k) sent
com
.
$(k)
Calcule a área total englobada pela lemniscata
.
Desenhe as seguintes curvas:
$(j) cost , sent, bt) com
e
uma constante positiva arbitrária.
$(j)