Desenhe as seguintes curvas:
$(j) cost , sent, bt) com e uma constante positiva arbitrária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa desenhar a curva definida por para todo , onde é uma constante positiva. Isso envolve conhecimentos de geometria no espaço tridimensional e parametrização de curvas. Vamos precisar entender como cada componente da função contribui para a forma final da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função :
  • : Isso nos dá a posição no eixo em função de .
  • : Isso nos dá a posição no eixo em função de .
  • : Isso nos dá a posição no eixo em função de .
Essas três funções juntas nos dizem como o ponto se move no espaço conforme varia.

Passo 3

Observamos que e descrevem um círculo no plano com raio 1, já que . Ou seja, se ignorarmos o componente , a curva seria apenas um círculo.

Passo 4

Agora, vamos considerar o componente . Como é uma constante positiva, isso significa que conforme aumenta, a coordenada também aumenta de forma linear. Então, enquanto o ponto desenha um círculo no plano , ele também sobe no eixo .

Passo 5

Juntando tudo, a curva é uma hélice circular. Ela enrola ao redor do eixo , fazendo um círculo no plano e, ao mesmo tempo, movendo-se para cima no eixo à medida que aumenta.

Resposta

A curva para e descreve uma hélice circular que gira em torno do eixo , subindo continuamente conforme aumenta. Para desenhar, você pode imaginar um espirálio enrolado em torno do cilindro , subindo ao longo do eixo .

Exercícios relacionados

Calcule a área total englobada pela lemniscata .
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(d) $ cost, sent, .
Responda os itens a seguir:
$(a) $ Parametrize a trajetória de uma partícula que se move em linha reta partindo do ponto com velocidade constante dada pelo vetor .
Suponha que a intensidade de corrente (I), em Ampères, em um circuito seja dada por , sendo que V representa a tensão (em Volts) e R a resistência em (ohms). Qual é a variação da intensidade de corrente em relação à tensão
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quando e ? Qual é a variação da intensidade de corrente em relação à resistência quando e ?