Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções com duas variáveis e depois derivar novamente essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Para fazer isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a :
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter a segunda derivada parcial :
Derivando:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , chamada de . Aqui, tratamos como constante:
Derivando termo a termo:

Passo 5

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter a segunda derivada parcial :
Derivando:

Passo 6

Também podemos encontrar as derivadas mistas, ou seja, derivar em relação a e em relação a . Vamos começar com :
Derivando em relação a :

Passo 7

Agora, derivando em relação a para encontrar :
Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados

Desenhe as seguintes curvas:
$(k) sent com .
Considere a função e encontre .
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(d) $ cost, sent, .
Calcule a área total englobada pela lemniscata .