Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções com duas variáveis e depois derivar novamente essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Para fazer isso, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para obter a segunda derivada parcial
:
Derivando:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Aqui, tratamos
como constante:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para obter a segunda derivada parcial
:
Derivando:
Passo 6
Também podemos encontrar as derivadas mistas, ou seja, derivar
em relação a
e
em relação a
. Vamos começar com
:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Agora, derivando
em relação a
para encontrar
:
Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Desenhe as seguintes curvas:
$(k) sent
com
.
$(k)
Considere a função
e encontre
.
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(d) $ cost,
sent,
.
$(d) $
Calcule a área total englobada pela lemniscata
.