Calcule a área do triângulo A B C de vértices A=(1,3,2), B=(-2,3,1) e C=(-1,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área do triângulo A B C cujos vértices estão nas coordenadas A=(1,3,2), B=(-2,3,1) e C=(-1,-1,2). Para isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional, como vetores de posição, produto vetorial e magnitude. Vamos precisar calcular vetores que representam os lados do triângulo, fazer o produto vetorial entre eles e, finalmente, achar a magnitude desse resultado para determinar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo a partir dos pontos dados. Vamos calcular os vetores AB e AC.
Para encontrar AB, subtraímos as coordenadas de A das de B:
AB = B - A = (-2 - 1, 3 - 3, 1 - 2) = (-3, 0, -1)
Da mesma forma, para AC:
AC = C - A = (-1 - 1, -1 - 3, 2 - 2) = (-2, -4, 0)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC. O produto vetorial entre dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u times v = (u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1)
Aplicando isso aos nossos vetores:
AB times AC = (0 cdot 0 - (-1) cdot (-4), (-1) cdot (-2) - (-3) cdot 0, (-3) cdot (-4) - 0 cdot (-2))
= (0 - 4, 2 - 0, 12 - 0) = (-4, 2, 12)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a magnitude (ou comprimento) do vetor resultante do produto vetorial. A magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor (-4, 2, 12):
|AB times AC| = raiz(-4)^2 + 2^2 + 12^2 = raiz16 + 4 + 144 = raiz164

Passo 5

Para encontrar a área do triângulo, usamos a fórmula:
Área = 12 |AB times AC| Á
Substituindo a magnitude que calculamos:
Área = 12 raiz164 = raiz1642 Á
Podemos simplificar raiz164:
raiz164 = raiz4 times 41 = 2raiz41
Então:
Área = 2raiz412 = raiz41 Á

Resposta

A área do triângulo A B C é raiz41 unidades de área.

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Dado o vetor u=(2,1,0). Determine um v=(x, y, z) ortogonal ao eixo O z, sabendo-se que |u wed>= v|=6 e u cdot v=2.
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