Dado o vetor u=(2,1,0). Determine um v=(x, y, z) ortogonal ao eixo O z, sabendo-se que |u wed>= v|=6 e u cdot v=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o vetor u = (2, 1, 0) e pede para encontrar um vetor v = (x, y, z) que seja ortogonal ao eixo Oz. Além disso, sabemos que o módulo do produto vetorial entre u e v é 6 e que o produto interno entre u e v é 2. Vamos usar conceitos de geometria vetorial como produto escalar, produto vetorial e ortogonalidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa v ser ortogonal ao eixo Oz. O eixo Oz é representado pelo vetor (0, 0, 1). Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
v cdot (0, 0, 1) = 0
Calculando o produto escalar:
0 cdot x + 0 cdot y + 1 cdot z = z = 0
Portanto, z = 0. Assim, nosso vetor v fica (x, y, 0).

Passo 3

Agora, vamos usar a condição do produto interno entre u e v, que é 2:
u cdot v = 2
Substituindo u = (2, 1, 0) e v = (x, y, 0):
2x + 1y + 0 = 2x + y = 2
Essa é nossa primeira equação: 2x + y = 2.

Passo 4

Em seguida, vamos usar a condição do módulo do produto vetorial, que é 6:
|u wed>= v| = 6
O produto vetorial u wed>= v para vetores em 3D é dado por:
u wed>= v = i & j & k 2 & 1 & 0 x & y & 0 = (1 cdot 0 - 0 cdot y)i - (2 cdot 0 - 0 cdot x)j + (2 cdot y - 1 cdot x)k = (0)i - (0)j + (2y - x)k = (0, 0, 2y - x)
O módulo desse vetor é:
|u wed>= v| = |2y - x| = 6
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 2y - x = 6
  2. 2y - x = -6

Passo 5

Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1: 2y - x = 6
Temos sistema de equações:
2x + y = 2 2y - x = 6
Multiplicando a segunda equação por 2:
4y - 2x = 12
Somando com a primeira equação:
2x + y + 4y - 2x = 2 + 12 5y = 14 y = 145 = 2.8
Substituindo y na primeira equação:
2x + 2.8 = 2 2x = 2 - 2.8 2x = -0.8 x = -0.4
Então, v = (-0.4, 2.8, 0).
Caso 2: 2y - x = -6
Sistema de equações:
2x + y = 2 2y - x = -6
Multiplicando a segunda equação por 2:
4y - 2x = -12
Somando com a primeira equação:
2x + y + 4y - 2x = 2 -12 5y = -10 y = -2
Substituindo y na primeira equação:
2x - 2 = 2 2x = 4 x = 2
Então, v = (2, -2, 0).

Resposta

Os vetores v que satisfazem as condições são v = (-0.4, 2.8, 0) e v = (2, -2, 0).

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