Dado o vetor . Determine um ortogonal ao eixo , sabendo-se que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o vetor e pede para encontrar um vetor que seja ortogonal ao eixo . Além disso, sabemos que o módulo do produto vetorial entre e é 6 e que o produto interno entre e é 2. Vamos usar conceitos de geometria vetorial como produto escalar, produto vetorial e ortogonalidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal ao eixo . O eixo é representado pelo vetor . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
Calculando o produto escalar:
Portanto, . Assim, nosso vetor fica .
Passo 3
Agora, vamos usar a condição do produto interno entre e , que é 2:
Substituindo e :
Essa é nossa primeira equação: .
Passo 4
Em seguida, vamos usar a condição do módulo do produto vetorial, que é 6:
O produto vetorial para vetores em 3D é dado por:
O módulo desse vetor é:
|u wed>= v| = |2y - x| = 6
Isso nos dá duas possibilidades:
2y - x = 6
2y - x = -6
Passo 5
Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1: 2y - x = 6
Temos sistema de equações:
2x + y = 2 2y - x = 6
Multiplicando a segunda equação por 2:
4y - 2x = 12
Somando com a primeira equação:
2x + y + 4y - 2x = 2 + 12 5y = 14 y = 145 = 2.8
Substituindo y na primeira equação:
2x + 2.8 = 2 2x = 2 - 2.8 2x = -0.8 x = -0.4
Então, v = (-0.4, 2.8, 0).
Caso 2: 2y - x = -6
Sistema de equações:
2x + y = 2 2y - x = -6
Multiplicando a segunda equação por 2:
4y - 2x = -12
Somando com a primeira equação:
2x + y + 4y - 2x = 2 -12 5y = -10 y = -2
Substituindo y na primeira equação:
2x - 2 = 2 2x = 4 x = 2
Então, v = (2, -2, 0).
Resposta
Os vetores v que satisfazem as condições são v = (-0.4, 2.8, 0) e v = (2, -2, 0).