Determinar um vetor ortogonal aos vetores u=doti+j e v=doti-2 j+k. Seja x=x doti+y j+z k o vetor procurado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores u = i + j e v = i - 2j + k. Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser ortogonal a outros dois. Se o vetor x = xi + yj + zk é ortogonal a u e v, então o produto escalar entre x e cada um deles deve ser zero. Ou seja:
x cdot u = 0 e x cdot v = 0

Passo 3

Vamos calcular esses produtos escalares. Primeiro, entre x e u:
x cdot u = (x)(1) + (y)(1) + (z)(0) = x + y = 0
Agora, entre x e v:
x cdot v = (x)(1) + (y)(-2) + (z)(1) = x - 2y + z = 0

Passo 4

Agora temos um sistema de equações:
x + y = 0 x - 2y + z = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de x, y e z em termos de uma variável livre, já que temos mais variáveis do que equações.

Passo 5

Da primeira equação, podemos expressar x em termos de y:
x = -y
Substituindo esse valor na segunda equação:
(-y) - 2y + z = 0 Rightarrow -3y + z = 0 Rightarrow z = 3y

Passo 6

Agora, podemos expressar x em termos de y:
x = -yi + yj + 3yk = y(-i + j + 3k)
Como estamos procurando um vetor específico, podemos escolher y = 1 para simplificar:
x = -i + j + 3k

Resposta

O vetor ortogonal aos vetores u e v é x = -i + j + 3k.

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