Decompor um vetor v=(-1,2,3) em dois vetores u e z tais que u é paralelo a w e z perp w sendo w= (2,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa decompor o vetor v = (-1, 2, 3) em dois vetores u e z. A ideia é que u seja paralelo ao vetor w = (2, 0, -1) e que z seja perpendicular a w. Para resolver isso, vamos usar conceitos de decomposição de vetores e projeção vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar u, que é a projeção de v sobre w. A fórmula da projeção de v em w é:
u = ( v cdot ww cdot w ) w

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot w:
v cdot w = (-1)(2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 + 0 - 3 = -5

Passo 4

Agora, calculamos w cdot w:
w cdot w = (2)^2 + (0)^2 + (-1)^2 = 4 + 0 + 1 = 5

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da projeção:
u = ( -55 ) w = -1 cdot (2, 0, -1) = (-2, 0, 1)

Passo 6

Agora que temos u, podemos encontrar z usando a relação v = u + z:
z = v - u = (-1, 2, 3) - (-2, 0, 1) = (-1 + 2, 2 - 0, 3 - 1) = (1, 2, 2)

Resposta

A decomposição do vetor v = (-1, 2, 3) é:
u = (-2, 0, 1) e z = (1, 2, 2)

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