Use a teoria de vetores e o produto escalar para mostrar que as diagonais de um losango são perpendiculares.

Passo 1

Então, temos um losango e queremos provar que as suas diagonais se cortam formando um ângulo de 90 graus, ou seja, são perpendiculares. Para isso, vamos usar a teoria de vetores e o produto escalar. Precisamos conhecer o que são vetores, como representá-los e entender o que é o produto escalar entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar as diagonais do losango como vetores. Vamos chamar as diagonais de e . Em um losango, as diagonais se cortam no ponto médio de cada uma.

Passo 3

Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, se , então as diagonais são perpendiculares.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar . Suponha que as diagonais têm componentes e . O produto escalar é dado por:

Passo 5

No losango, as diagonais se bissetam perpendicularmente. Isso significa que, ao se cortar, formam ângulos de 90 graus. Portanto, o produto escalar deve ser zero:

Passo 6

Assim, mostramos que , o que prova que as diagonais do losango são perpendiculares.

Resposta

As diagonais de um losango são perpendiculares, pois o produto escalar entre elas é zero.

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