Calcule a área do triângulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é para calcular a área do triângulo formado pela reta tangente a uma curva e pelos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas (que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente) e entender como encontrar os pontos onde essa reta intercepta os eixos x e y.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a curva à qual a reta é tangente. Vamos supor que a curva seja dada por
, onde
é uma função diferenciável. A reta tangente a essa curva em um ponto específico
tem uma inclinação que é igual à derivada da função nesse ponto, ou seja,
.
Passo 3
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde essa reta intercepta os eixos x e y.
- Interseção com o eixo y: Para encontrar onde a reta corta o eixo y, deixamos
:
Então, o ponto de interseção com o eixo y é
.
- Interseção com o eixo x: Para encontrar onde a reta corta o eixo x, deixamos
:
Resolvendo para
:
Então, o ponto de interseção com o eixo x é
.
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção com os eixos, podemos calcular a área do triângulo formado por esses pontos e a origem
.
A área de um triângulo formado pelos pontos
,
e
é dada por:
Substituindo
e
, temos:
Resposta
A área do triângulo é
.