Calcule a área do triângulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é para calcular a área do triângulo formado pela reta tangente a uma curva e pelos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas (que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente) e entender como encontrar os pontos onde essa reta intercepta os eixos x e y.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a curva à qual a reta é tangente. Vamos supor que a curva seja dada por , onde é uma função diferenciável. A reta tangente a essa curva em um ponto específico tem uma inclinação que é igual à derivada da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 3

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde essa reta intercepta os eixos x e y.
  • Interseção com o eixo y: Para encontrar onde a reta corta o eixo y, deixamos :
Então, o ponto de interseção com o eixo y é .
  • Interseção com o eixo x: Para encontrar onde a reta corta o eixo x, deixamos :
Resolvendo para :
Então, o ponto de interseção com o eixo x é .

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção com os eixos, podemos calcular a área do triângulo formado por esses pontos e a origem .
A área de um triângulo formado pelos pontos , e é dada por:
Á
Substituindo e , temos:
Á

Resposta

A área do triângulo é .

Exercícios relacionados

Calcule lim x 4 raizx+5-3x-4.
Prove que g(x) = e^x (f'(x) - f(x)) é constante.
Considere f: R -> R definida por f(x) = |x^2 - 4x + 3|. Calcule quando existir ou justifique a não existência das derivadas f'(2), f'(3) e f'(5).
Calcule a derivada da função: f(x) = e^(sen x).