Considere f: R -> R definida por f(x) = |x^2 - 4x + 3|. Calcule quando existir ou justifique a não existência das derivadas f'(2), f'(3) e f'(5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer é descobrir se as derivadas , e existem. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e analisar onde a função pode ter alguma “esquinha”, ou seja, onde a derivada pode não existir.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o que está dentro do valor absoluto: . Podemos fatorar esse polinômio:
Então, . Isso nos mostra que a função muda de comportamento nos pontos onde ou , ou seja, em e .

Passo 3

Vamos entender que a derivada de uma função valor absoluto pode não existir onde o que está dentro do valor absoluto muda de sinal, porque aí a função tem um “canto” ou “esquina”. Então, vamos verificar os pontos que nos interessam: , e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de para e :
Quando , ou seja, ou :
Quando , ou seja, :

Passo 5

Agora, vamos analisar cada ponto:
Para :
  • Está no intervalo , então usamos .
  • Calculando:
  • Portanto, existe e é igual a 0.
Para :
  • Aqui, é um ponto onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.
  • Vamos calcular o limite pela esquerda e pela direita:
    • Pela esquerda ( ): . Então,
    • Pela direita ( ): . Então,
  • Como , a derivada não existe em .
Para :
  • Está no intervalo , então usamos .
  • Calculando:
  • Portanto, existe e é igual a 6.

Resposta

, a derivada em não existe, e .

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Considere a função f: R -> R definida por f(x) = sen x, cujo gráfico é esboçado na primeira ilustração da Figura 2. Determine a área da região indicada.