Considere definida por . Calcule quando existir ou justifique a não existência das derivadas f'(2), f'(3) e f'(5).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer é descobrir se as derivadas , e existem. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e analisar onde a função pode ter alguma “esquinha”, ou seja, onde a derivada pode não existir.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o que está dentro do valor absoluto: . Podemos fatorar esse polinômio:
Então, . Isso nos mostra que a função muda de comportamento nos pontos onde ou , ou seja, em e .
Passo 3
Vamos entender que a derivada de uma função valor absoluto pode não existir onde o que está dentro do valor absoluto muda de sinal, porque aí a função tem um “canto” ou “esquina”. Então, vamos verificar os pontos que nos interessam: , e .
Passo 4
Vamos calcular a derivada de para e :
Quando , ou seja, ou :
Quando , ou seja, :
Passo 5
Agora, vamos analisar cada ponto:
Para :
Está no intervalo , então usamos .
Calculando:
Portanto, existe e é igual a 0.
Para :
Aqui, é um ponto onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.
Vamos calcular o limite pela esquerda e pela direita: