Calcule as integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fazer divisão polinomial e depois integrar termos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador. Isso ajuda a simplificar a expressão antes de integrar. Nosso objetivo é escrever a fração como um polinômio mais um resto sobre o denominador.
Dividindo
por
:
- Dividendo:
- Divisor:
Vamos ver quantas vezes o divisor cabe no dividendo:
Multiplicamos o divisor por
:
Subtraímos isso do dividendo:
Então, temos:
Passo 3
Agora, a integral fica dividida em duas partes mais simples:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 4
Primeira parte:
Isso é uma integral básica. Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Segunda parte:
Para resolver essa integral, vamos simplificar o numerador para que ele se pareça com a derivada do denominador. A derivada de
é
, mas nosso numerador é
.
Podemos reescrever
como uma combinação da derivada do denominador mais um termo constante:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral fica:
Segundo termo:
Observamos que
pode ser escrito como
. Então, temos:
A integral de
é
. Portanto:
Passo 7
Agora, juntamos todas as partes que integramos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
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e
.
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