Calcule as integrais. integral x^3-4 x^2+7 x+3x^2-4 x+4 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral x^3 - 4x^2 + 7x + 3x^2 - 4x + 4 , dx
Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fazer divisão polinomial e depois integrar termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador. Isso ajuda a simplificar a expressão antes de integrar. Nosso objetivo é escrever a fração como um polinômio mais um resto sobre o denominador.
Dividindo x cdot (x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x por (x^3 - 4x^2 + 7x + 3) - (x^3 - 4x^2 + 4x) = 3x + 3 :
  1. Dividendo: x^3 - 4x^2 + 7x + 3x^2 - 4x + 4 = x + 3x + 3x^2 - 4x + 4
  2. Divisor:
Vamos ver quantas vezes o divisor cabe no dividendo:
Multiplicamos o divisor por :
Subtraímos isso do dividendo:
Então, temos:

Passo 3

Agora, a integral fica dividida em duas partes mais simples:
integral ( x + 3x + 3x^2 - 4x + 4 ) dx = integral x , dx + integral 3x + 3x^2 - 4x + 4 , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 4

Primeira parte: 12x^2 + C
Isso é uma integral básica. Integrando, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Segunda parte: 3x + 3 = 32(2x - 4) + 9
Para resolver essa integral, vamos simplificar o numerador para que ele se pareça com a derivada do denominador. A derivada de integral ( 32 cdot 2x - 4x^2 - 4x + 4 + 9x^2 - 4x + 4 ) dx é , mas nosso numerador é .
Podemos reescrever como uma combinação da derivada do denominador mais um termo constante:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
32 integral 2x - 4x^2 - 4x + 4 , dx
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja 32 integral duu = 32 ln|u| + C = 32 ln|x^2 - 4x + 4| + C , então 9 integral 1x^2 - 4x + 4 , dx . A integral fica:
9 integral 1(x - 2)^2 , dx
Segundo termo:
9 ( -1x - 2 ) + C = -9x - 2 + C
Observamos que pode ser escrito como . Então, temos:
A integral de é . Portanto:

Passo 7

Agora, juntamos todas as partes que integramos:
12x^2 + 32 ln|x^2 - 4x + 4| - 9x - 2 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

12x^2 + 32 ln|x^2 - 4x + 4| - 9x - 2 + C

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