Calcule as integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fazer divisão polinomial e depois integrar termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador. Isso ajuda a simplificar a expressão antes de integrar. Nosso objetivo é escrever a fração como um polinômio mais um resto sobre o denominador.
Dividindo por :
  1. Dividendo:
  2. Divisor:
Vamos ver quantas vezes o divisor cabe no dividendo:
Multiplicamos o divisor por :
Subtraímos isso do dividendo:
Então, temos:

Passo 3

Agora, a integral fica dividida em duas partes mais simples:
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 4

Primeira parte:
Isso é uma integral básica. Integrando, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Segunda parte:
Para resolver essa integral, vamos simplificar o numerador para que ele se pareça com a derivada do denominador. A derivada de é , mas nosso numerador é .
Podemos reescrever como uma combinação da derivada do denominador mais um termo constante:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja , então . A integral fica:
Segundo termo:
Observamos que pode ser escrito como . Então, temos:
A integral de é . Portanto:

Passo 7

Agora, juntamos todas as partes que integramos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

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