Calcule a área do triângulo em R^3 que tem vértices em A=(1,2,3), B=(2,0,3) e C = (4, -3, 5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um triângulo no espaço tridimensional ( ). Os vértices desse triângulo são os pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produtos vetoriais. Vamos precisar entender como encontrar vetores que representem os lados do triângulo e como calcular o produto vetorial entre eles para, depois, determinar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que formam o triângulo. Podemos escolher os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 3

Agora que temos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o módulo (ou comprimento) desse produto vetorial. O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso ao nosso vetor resultante:

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial dos vetores que formam os lados. Portanto:
Á

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

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