Nos exercícios 1-8, encontre equações para: (a) plano tangente; (b) A reta normal no ponto na superfície dada.

Passo 1

Então, temos uma equação de um plano: , e um ponto nessa superfície. O que precisamos fazer aqui é encontrar duas coisas: a) A equação do plano tangente na superfície no ponto . b) A equação da reta normal a essa superfície no mesmo ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso, como vetores normais e a equação geral de planos e retas.

Passo 2

Primeiro, para encontrar o plano tangente, precisamos saber o vetor normal à superfície. No caso de um plano dado por , o vetor normal é . No nosso caso, a equação é , então , , e . Portanto, o vetor normal é .

Passo 3

Agora que temos o vetor normal, podemos usar a fórmula da equação do plano tangente. A fórmula geral é: Onde é o ponto dado, que aqui é .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula: Simplificando: Interessante! A equação do plano tangente é a mesma da superfície original, o que faz sentido porque todo plano é tangente a si mesmo em qualquer ponto.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal passa pelo ponto na direção do vetor normal . A equação vetorial da reta é: Onde é um parâmetro real.

Passo 6

Substituindo os valores: Então:

Passo 7

Para expressar a reta de forma paramétrica, podemos separar as coordenadas: Onde varia em todos os números reais.

Resposta

a) A equação do plano tangente em é . b) A equação paramétrica da reta normal é: onde é um parâmetro real.

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