Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) plano tangente;
(b) A reta normal no ponto na superfície dada.
Passo 1
Então, temos uma equação de um plano: , e um ponto nessa superfície. O que precisamos fazer aqui é encontrar duas coisas:
a) A equação do plano tangente na superfície no ponto .
b) A equação da reta normal a essa superfície no mesmo ponto .
Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso, como vetores normais e a equação geral de planos e retas.
Passo 2
Primeiro, para encontrar o plano tangente, precisamos saber o vetor normal à superfície. No caso de um plano dado por , o vetor normal é .
No nosso caso, a equação é , então , , e . Portanto, o vetor normal é .
Passo 3
Agora que temos o vetor normal, podemos usar a fórmula da equação do plano tangente. A fórmula geral é:
Onde é o ponto dado, que aqui é .
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Interessante! A equação do plano tangente é a mesma da superfície original, o que faz sentido porque todo plano é tangente a si mesmo em qualquer ponto.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal passa pelo ponto na direção do vetor normal .
A equação vetorial da reta é:
Onde é um parâmetro real.
Passo 6
Substituindo os valores:
Então:
Passo 7
Para expressar a reta de forma paramétrica, podemos separar as coordenadas:
Onde varia em todos os números reais.
Resposta
a) A equação do plano tangente em é .
b) A equação paramétrica da reta normal é:
onde é um parâmetro real.