Encontre uma equação paramétrica da reta que passa pelo ponto e que é paralela aos planos e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação paramétrica de uma reta. A reta deve passar pelo ponto e ser paralela aos planos e . Para isso, vamos precisar entender como determinar a direção da reta que seja paralela a ambos os planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores normais dos planos dados. O vetor normal de um plano é .
Para o plano , o vetor normal é .
Para o plano , o vetor normal é .

Passo 3

Como a reta deve ser paralela a ambos os planos, sua direção deve ser perpendicular aos vetores normais dos planos. Isso significa que o vetor diretor da reta deve ser perpendicular a e .
Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores e , podemos calcular o produto vetorial entre eles:

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial:
Portanto, o vetor diretor da reta é .

Passo 5

Agora que temos o ponto pelo qual a reta passa e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta.
A equação paramétrica de uma reta é dada por:
Onde é o ponto inicial e são as componentes do vetor diretor.

Passo 6

Substituindo os valores que temos:

Resposta

A equação paramétrica da reta é:

Exercícios relacionados

Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) plano tangente;
(b) A reta normal no ponto na superfície dada.
Calcule a área do triângulo em que tem vértices em e .
Nos exercícios 23-34, encontre e
Sejam e . Escreva como uma soma em que é paralelo a e é ortogonal a .