Calcule:
r)
,
r)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida:
Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão da função integranda usando substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que no denominador temos
, o que pode complicar a integração direta. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Perceba que
aparece no numerador da nossa integral, o que é perfeito para a substituição.
Passo 4
Vamos agora substituir
e
na integral original:
Calculando os novos limites de integração:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
em relação a
. Sabemos que:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.
Passo 6
Aplicando os limites de integração, temos:
Sabendo que
e
, então:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.