Calcule:
r) integral0^pi / 2 cos x1+sen^2 x d x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida:
integral0^pi2 cos x1+sin^2 x , dx
Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão da função integranda usando substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que no denominador temos 1 + sin^2 x, o que pode complicar a integração direta. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar:
u = sin x

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
du = cos x , dx
Perceba que cos x , dx aparece no numerador da nossa integral, o que é perfeito para a substituição.

Passo 4

Vamos agora substituir u e du na integral original:
integral0^pi2 cos x1+sin^2 x , dx = integralu(0)^u(pi2) du1 + u^2
Calculando os novos limites de integração:
u(0) = sin(0) = 0
u(pi2) = sin(pi2) = 1
Então, a integral fica:
integral0^1 du1 + u^2

Passo 5

Agora, precisamos integrar 11 + u^2 em relação a u. Sabemos que:
integral 11 + u^2 , du = arctan u + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:
[ arctan u ]0^1 = arctan(1) - arctan(0)
Sabendo que arctan(1) = pi4 e arctan(0) = 0, então:
pi4 - 0 = pi4

Resposta

Portanto, o valor da integral é pi4.

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