Calcule a área do triângulo triang<= A B C e a altura relativa ao lado B C, dado que A(-4,1,1), B(1,0,1) e C(0,-1,3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área do triângulo triang<= ABC e a altura relativa ao lado BC, sabendo que os pontos são A(-4,1,1), B(1,0,1) e C(0,-1,3). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores, produto vetorial e fórmulas de área de triângulo.

Passo 2

Vamos começar calculando os vetores que representam os lados do triângulo. Especificamente, precisamos dos vetores AB e AC. Para encontrar um vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final.
  • Vetor AB:
    AB = B - A = (1 - (-4), 0 - 1, 1 - 1) = (5, -1, 0)
  • Vetor AC:
    AC = C - A = (0 - (-4), -1 - 1, 3 - 1) = (4, -2, 2)

Passo 3

Agora, para encontrar a área do triângulo, podemos usar o produto vetorial dos vetores AB e AC. A área de um triângulo formado por dois vetores é igual à metade do módulo do produto vetorial desses vetores.
Área = 12 | AB times AC | Á

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial AB times AC. O produto vetorial de dois vetores (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3) é dado por:
AB times AC = i & j & k 5 & -1 & 0 4 & -2 & 2 = ( (-1)(2) - (0)(-2) )i - ( 5(2) - 0(4) )j + ( 5(-2) - (-1)(4) )k
Simplificando:
AB times AC = (-2 - 0)i - (10 - 0)j + (-10 + 4)k = (-2, -10, -6)

Passo 5

Agora, calculamos o módulo desse vetor resultante para encontrar o valor necessário para a área.
| AB times AC | = raiz(-2)^2 + (-10)^2 + (-6)^2 = raiz4 + 100 + 36 = raiz140 approx 11,83

Passo 6

Finalmente, calculamos a área do triângulo:
Área = 12 times 11,83 approx 5,91 Á

Passo 7

Agora, para encontrar a altura relativa ao lado BC, usamos a fórmula da área do triângulo em relação à base e à altura:
Área = 12 times base times aÁ
Já conhecemos a área (aproximadamente 5,91) e precisamos encontrar a altura. Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos B e C, que será a base.

Passo 8

Calculando a distância entre B(1,0,1) e C(0,-1,3) usando a fórmula da distância no espaço tridimensional:
d = raiz(0 - 1)^2 + (-1 - 0)^2 + (3 - 1)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 approx 2,45

Passo 9

Agora, usando a fórmula da área para encontrar a altura:
5,91 = 12 times 2,45 times a
Multiplicando ambos os lados por 2:
11,82 = 2,45 times a
Dividindo por 2,45:
a

Resposta

A área do triângulo triang<= ABC é aproximadamente 5,91 unidades de área e a altura relativa ao lado BC é aproximadamente 4,82 unidades de comprimento.

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