Calcule a área do triângulo e a altura relativa ao lado , dado que e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área do triângulo e a altura relativa ao lado , sabendo que os pontos são , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores, produto vetorial e fórmulas de área de triângulo.
Passo 2
Vamos começar calculando os vetores que representam os lados do triângulo. Especificamente, precisamos dos vetores e . Para encontrar um vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final.
Vetor :
Vetor :
Passo 3
Agora, para encontrar a área do triângulo, podemos usar o produto vetorial dos vetores e . A área de um triângulo formado por dois vetores é igual à metade do módulo do produto vetorial desses vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorialAB times AC. O produto vetorial de dois vetores (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3) é dado por:
AB times AC = i & j & k 5 & -1 & 0 4 & -2 & 2 = ( (-1)(2) - (0)(-2) )i - ( 5(2) - 0(4) )j + ( 5(-2) - (-1)(4) )k
Simplificando:
AB times AC = (-2 - 0)i - (10 - 0)j + (-10 + 4)k = (-2, -10, -6)
Passo 5
Agora, calculamos o módulo desse vetor resultante para encontrar o valor necessário para a área.
| AB times AC | = raiz(-2)^2 + (-10)^2 + (-6)^2 = raiz4 + 100 + 36 = raiz140 approx 11,83
Passo 6
Finalmente, calculamos a área do triângulo:
Área = 12 times 11,83 approx 5,91 Á
Passo 7
Agora, para encontrar a altura relativa ao lado BC, usamos a fórmula da área do triângulo em relação à base e à altura:
Área = 12 times base times aÁ
Já conhecemos a área (aproximadamente 5,91) e precisamos encontrar a altura. Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos B e C, que será a base.
Passo 8
Calculando a distância entre B(1,0,1) e C(0,-1,3) usando a fórmula da distância no espaço tridimensional:
Agora, usando a fórmula da área para encontrar a altura:
5,91 = 12 times 2,45 times a
Multiplicando ambos os lados por 2:
11,82 = 2,45 times a
Dividindo por 2,45:
a
Resposta
A área do triângulo triang<= ABC é aproximadamente 5,91 unidades de área e a altura relativa ao lado BC é aproximadamente 4,82 unidades de comprimento.