Calcule a área do triângulo e a altura relativa ao lado , dado que e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área do triângulo e a altura relativa ao lado , sabendo que os pontos são , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores, produto vetorial e fórmulas de área de triângulo.
Passo 2
Vamos começar calculando os vetores que representam os lados do triângulo. Especificamente, precisamos dos vetores e . Para encontrar um vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final.
Vetor :
Vetor :
Passo 3
Agora, para encontrar a área do triângulo, podemos usar o produto vetorial dos vetores e . A área de um triângulo formado por dois vetores é igual à metade do módulo do produto vetorial desses vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o módulo desse vetor resultante para encontrar o valor necessário para a área.
Passo 6
Finalmente, calculamos a área do triângulo:
Á
Passo 7
Agora, para encontrar a altura relativa ao lado , usamos a fórmula da área do triângulo em relação à base e à altura:
Á
Já conhecemos a área (aproximadamente 5,91) e precisamos encontrar a altura. Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos e , que será a base.
Passo 8
Calculando a distância entre e usando a fórmula da distância no espaço tridimensional:
Passo 9
Agora, usando a fórmula da área para encontrar a altura:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo por 2,45:
Resposta
A área do triângulo é aproximadamente 5,91 unidades de área e a altura relativa ao lado é aproximadamente 4,82 unidades de comprimento.