Determine a posição relativa entre os seguintes planos:
Pi1: x-y=z e Pi2: y+z=x+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a posição relativa entre dois planos no espaço tridimensional. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos. Para isso, vamos precisar entender como comparar as equações dos planos para ver se eles são paralelos, coincidentes ou se se interceptam em uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações dos planos de forma padrão. Temos:
  • Plano Pi1: x - y = z
  • Plano Pi2: y + z = x + 1
Vamos reorganizar essas equações para que fiquem na forma padrão Ax + By + Cz + D = 0.
Para Pi1:
x - y - z = 0
Para Pi2:
- x + y + z - 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes das variáveis x, y e z em cada plano, que nos darão os vetores normais dos planos:
  • Vetor normal de Pi1: n1 = (1, -1, -1)
  • Vetor normal de Pi2: n2 = (-1, 1, 1)

Passo 4

A posição relativa entre dois planos depende dos vetores normais:
  1. Planos paralelos: se os vetores normais são múltiplos um do outro.
  2. Planos coincidentes: se são paralelos e uma equação pode ser obtida multiplicando a outra por uma constante.
  3. Planos que se interceptam: se os vetores normais não são múltiplos um do outro.
Vamos verificar se n1 é múltiplo de n2.

Passo 5

Vamos ver se existe um número k tal que:
n1 = k cdot n2
Ou seja:
1 = -k -1 = k -1 = k
Resolvendo, vemos que k = -1. Vamos verificar:
k cdot n2 = -1 cdot (-1, 1, 1) = (1, -1, -1) = n1
Então, os vetores normais são múltiplos, o que indica que os planos são paralelos.

Passo 6

Agora, para verificar se os planos são coincidentes ou apenas paralelos distintos, vamos comparar as constantes das equações.
Usamos as equações padrão:
  • Pi1: x - y - z = 0
  • Pi2: -x + y + z - 1 = 0
Multiplicando a equação de Pi2 por -1:
x - y - z + 1 = 0 Rightarrow x - y - z = -1
Comparando com a equação de Pi1:
x - y - z = 0 vs x - y - z = -1
Como as constantes são diferentes, os planos são paralelos e distintos.

Resposta

Os planos Pi1 e Pi2 são paralelos e não coincidentes, ou seja, não se interceptam e mantêm uma distância constante entre si.

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