Determine a posição relativa entre os seguintes planos:
e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a posição relativa entre dois planos no espaço tridimensional. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos. Para isso, vamos precisar entender como comparar as equações dos planos para ver se eles são paralelos, coincidentes ou se se interceptam em uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações dos planos de forma padrão. Temos:
  • Plano
  • Plano
Vamos reorganizar essas equações para que fiquem na forma padrão .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes das variáveis , e em cada plano, que nos darão os vetores normais dos planos:
  • Vetor normal de :
  • Vetor normal de :

Passo 4

A posição relativa entre dois planos depende dos vetores normais:
  1. Planos paralelos: se os vetores normais são múltiplos um do outro.
  2. Planos coincidentes: se são paralelos e uma equação pode ser obtida multiplicando a outra por uma constante.
  3. Planos que se interceptam: se os vetores normais não são múltiplos um do outro.
Vamos verificar se é múltiplo de .

Passo 5

Vamos ver se existe um número tal que:
Ou seja:
Resolvendo, vemos que . Vamos verificar:
Então, os vetores normais são múltiplos, o que indica que os planos são paralelos.

Passo 6

Agora, para verificar se os planos são coincidentes ou apenas paralelos distintos, vamos comparar as constantes das equações.
Usamos as equações padrão:
Multiplicando a equação de por :
Comparando com a equação de :
Como as constantes são diferentes, os planos são paralelos e distintos.

Resposta

Os planos e são paralelos e não coincidentes, ou seja, não se interceptam e mantêm uma distância constante entre si.

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Sejam os vetores e . Determinar um vetor que seja
c) ortogonal a e e tenha módulo 4
Encontre o ângulo entre as retas:
e ;
Calcule a área do triângulo e a altura relativa ao lado , dado que e .
Determine a distância do ponto à reta que passa por e .