Sejam os vetores u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2). Determinar um vetor que seja
c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem dois vetores, u = (1, -1, -4) e v = (3, 2, -2). O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) tanto a u quanto a v, e que tenha módulo (ou comprimento) igual a 4. Para isso, vamos usar o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados, e depois vamos ajustar o tamanho desse vetor para que seja igual a 4.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja perpendicular a u e v usando o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Aplicando isso a u e v:
u times v = ((-1)(-2) - (-4)(2), (-4)(3) - (1)(-2), (1)(2) - (-1)(3))
Calculando cada componente:
u times v = (2 - (-8), -12 - (-2), 2 - (-3)) = (10, -10, 5)
Então, o vetor perpendicular é w = (10, -10, 5).

Passo 3

Agora, vamos ajustar o módulo de w para que seja igual a 4. Primeiro, encontramos o módulo atual de w:
|w| = raiz10^2 + (-10)^2 + 5^2 = raiz100 + 100 + 25 = raiz225 = 15
Queremos um vetor na mesma direção, mas com módulo 4. Para isso, a gente normaliza o vetor w (ou seja, divide por seu módulo) e depois multiplica pelo novo módulo desejado:
wnovo = ( 1015, -1015, 515 ) times 4 = ( 23, -23, 13 ) times 4 = ( 83, -83, 43 )

Resposta

Um vetor ortogonal a u e v com módulo 4 é ( dfrac83, -dfrac83, dfrac43 ).

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