Determine a distância do ponto P(5,1,2) à reta que passa por A(3,1,3) e B(4,-1,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a distância entre o ponto e a reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço tridimensional. Vamos precisar das coordenadas dos pontos e entender como aplicar essa fórmula.

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta. A reta passa por dois pontos, u = B - A = (4-3, -1-1, 1-3) = (1, -2, -2) e , então o vetor diretor é dado pela diferença das coordenadas de e :

Passo 3

Em seguida, precisamos formar o vetor que vai de a , ou seja, .

Passo 4

A fórmula para a distância d = || AP times u |||| u || de um ponto a uma reta no espaço é:
Onde representa o produto vetorial e a norma do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AP times u = i & j & k 2 & 0 & -1 1 & -2 & -2 = i cdot (0 cdot (-2) - (-1) cdot (-2)) - j cdot (2 cdot (-2) - (-1) cdot 1) + k cdot (2 cdot (-2) - 0 cdot 1) :
= i cdot (0 - 2) - j cdot (-4 - (-1)) + k cdot (-4 - 0)
= -2i + 3j -4k

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
|| AP times u || = raiz(-2)^2 + 3^2 + (-4)^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29

Passo 7

Também precisamos da norma do vetor diretor || u || = raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 :

Passo 8

Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
d = raiz293

Resposta

A distância entre o ponto e a reta que passa por e é unidades.

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