Determine a distância do ponto à reta que passa por e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a distância entre o ponto e a reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço tridimensional. Vamos precisar das coordenadas dos pontos e entender como aplicar essa fórmula.
Passo 2
Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta. A reta passa por dois pontos, e , então o vetor diretor é dado pela diferença das coordenadas de e :
Passo 3
Em seguida, precisamos formar o vetor que vai de a , ou seja, .
Passo 4
A fórmula para a distância de um ponto a uma reta no espaço é:
Onde representa o produto vetorial e a norma do vetor.
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial :
= -2i + 3j -4k
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
|| AP times u || = raiz(-2)^2 + 3^2 + (-4)^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29
Passo 7
Também precisamos da norma do vetor diretor || u || = raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 :
Passo 8
Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
d = raiz293
Resposta
A distância entre o ponto e a reta que passa por e é unidades.