Se u=3 i-j-2 k, v=2 i+4 j-k e w=-i+k, determine:
lang<=w times v, urang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três vetores: u = 3i - j - 2k, v = 2i + 4j - k e w = -i + k. A gente precisa calcular o produto misto lang<= w times v, u rang<=. Isso envolve duas operações de álgebra vetorial: o produto vetorial e o produto escalar. Vamos passo a passo para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre w e v, ou seja, w times v. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. Para calcular isso, usamos o determinante de uma matriz com os vetores i, j, k nas primeiras posições.

Passo 3

Vamos montar a matriz e calcular o determinante:
w times v = i & j & k -1 & 0 & 1 2 & 4 & -1
Agora, vamos expandir o determinante:
w times v = i(0 cdot (-1) - 1 cdot 4) - j((-1) cdot (-1) - 1 cdot 2) + k((-1) cdot 4 - 0 cdot 2)
Simplificando cada parte:
w times v = i(0 + (-4)) - j(1 - 2) + k(-4 - 0)
w times v = -4i + j - 4k

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, w times v = -4i + j - 4k, vamos calcular o produto escalar (ou produto interno) desse vetor com o vetor u = 3i - j - 2k. O produto escalar é uma operação que resulta em um número (escalar) e é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos dois vetores e somando esses resultados.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
lang<= w times v, u rang<= = (-4) cdot 3 + 1 cdot (-1) + (-4) cdot (-2)
Fazendo as multiplicações:
= (-12) + (-1) + 8
Somando os valores:
= -12 - 1 + 8 = -5

Resposta

O valor de lang<= w times v, u rang<= é -5.

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