Calcule a área do triângulo de vértice A(1,-2,1), B(3,-1,4) e C(-1,-3,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a área de um triângulo no espaço tridimensional, cujos vértices são os pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial, que nos ajudam a calcular áreas de figuras no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar os vetores que vão de A para B e de A para C. Esses vetores são importantes porque, a partir deles, a gente consegue usar o produto vetorial para achar a área do triângulo.
  • Vetor
  • Vetor

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores AB times AC = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 ) e AB times AC = ( 1 times 2 - 3 times (-1), 3 times (-2) - 2 times 2, 2 times (-1) - 1 times (-2) ) = (2 + 3, -6 - 4, -2 + 2) = (5, -10, 0) . O produto vetorial nos dá um novo vetor perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor está relacionada à área do paralelogramo formado por e .
A fórmula do produto vetorial é:
Aplicando os valores:

Passo 4

Vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo. A fórmula para a magnitude é:
|AB times AC| = raiz5^2 + (-10)^2 + 0^2 = raiz25 + 100 + 0 = raiz125 = 5raiz5

Passo 5

Como queremos a área do triângulo, e a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, vamos dividir o resultado anterior por 2:
Área do triângulo = 12 times 5raiz5 = 52raiz5 Áâ

Resposta

A área do triângulo formado pelos pontos , e é unidades de área.

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