Calcule a área do triângulo de vértice e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a área de um triângulo no espaço tridimensional, cujos vértices são os pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial, que nos ajudam a calcular áreas de figuras no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar os vetores que vão de A para B e de A para C. Esses vetores são importantes porque, a partir deles, a gente consegue usar o produto vetorial para achar a área do triângulo.
  • Vetor
  • Vetor

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores e . O produto vetorial nos dá um novo vetor perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor está relacionada à área do paralelogramo formado por e .
A fórmula do produto vetorial é:
Aplicando os valores:

Passo 4

Vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo. A fórmula para a magnitude é:

Passo 5

Como queremos a área do triângulo, e a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, vamos dividir o resultado anterior por 2:
Áâ

Resposta

A área do triângulo formado pelos pontos , e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Para que valor de os pontos e são coplanares?
Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e .
Para os itens a seguir, assuma que: e .
Determine as coordenadas do vértice .
Considere a seguinte situação:
Uma indústria produz três produtos, e , utilizando dois tipos de insumo, e . Para cada do produto são utilizados do insumo e do insumo ; para cada de , são usados do insumo e de ; e para cada do produto são utilizados de e de . O preço de venda do Kg de cada um dos produtos e é, respectivamente, 2,3 e 5 reais. Com a venda de toda a produção de e manufaturada com 1 Kg de e 2 Kg de , essa idústria arrecadou 2500 reais.
O problema de determinar quantos Kg de cada um dos produtos e foram vendidos pode ser modelado por um sistema linear. Qual sistema é esse? (Comece fazendo uma tabela para organizar os dados. Apresente as incógnitas e monte as equações do sistema a partir dos dados. Você não precisa resolvê-lo.)
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: c) ;