Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: c) ;

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a subespaços vetoriais, verificando se satisfaz três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a . O vetor zero em é . Vamos verificar se ele satisfaz as condições de : á á Portanto, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se tomarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em . Sabemos que para e em : Somando os vetores: Vamos verificar as condições para : á Para que , precisaríamos que: Isso implica que , o que só é verdade para todos os se ou . Como isso não é garantido para todos os vetores em , não é fechado sob adição.

Passo 4

Como não é fechado sob adição, não precisamos verificar a multiplicação por escalar. Uma das condições para ser um subespaço vetorial já não é satisfeita.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Considere a seguinte situação: Uma indústria produz três produtos, e , utilizando dois tipos de insumo, e . Para cada do produto são utilizados do insumo e do insumo ; para cada de , são usados do insumo e de ; e para cada do produto são utilizados de e de . O preço de venda do Kg de cada um dos produtos e é, respectivamente, 2,3 e 5 reais. Com a venda de toda a produção de e manufaturada com 1 Kg de e 2 Kg de , essa idústria arrecadou 2500 reais. O problema de determinar quantos Kg de cada um dos produtos e foram vendidos pode ser modelado por um sistema linear. Qual sistema é esse? (Comece fazendo uma tabela para organizar os dados. Apresente as incógnitas e monte as equações do sistema a partir dos dados. Você não precisa resolvê-lo.)
Calcule a área do triângulo de vértice e .
Seja o operador dado por . Verifique se é linear.
Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e . Para os itens a seguir, assuma que: e . Determine a área do triângulo .