Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: c)
;
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a subespaços vetoriais, verificando se
satisfaz três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a
. O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele satisfaz as condições de
:
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se tomarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que para
e
em
:
Somando os vetores:
Vamos verificar as condições para
:
Para que
, precisaríamos que:
Isso implica que
, o que só é verdade para todos os
se
ou
. Como isso não é garantido para todos os vetores em
,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Como
não é fechado sob adição, não precisamos verificar a multiplicação por escalar. Uma das condições para ser um subespaço vetorial já não é satisfeita.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.