Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: c) ;
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a subespaços vetoriais, verificando se satisfaz três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a . O vetor zero em é . Vamos verificar se ele satisfaz as condições de :
Portanto, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se tomarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Sabemos que para e em :
Somando os vetores:
Vamos verificar as condições para :
Para que , precisaríamos que:
Isso implica que , o que só é verdade para todos os se ou . Como isso não é garantido para todos os vetores em , não é fechado sob adição.
Passo 4
Como não é fechado sob adição, não precisamos verificar a multiplicação por escalar. Uma das condições para ser um subespaço vetorial já não é satisfeita.