Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: c) W=(x, y, z, w) in R^4 ; y=x, z=w^2;

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a subespaços vetoriais, verificando se satisfaz três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a y = x Rightarrow 0 = 0 (Válido) . O vetor zero em z = w^2 Rightarrow 0 = 0^2 = 0 (Válido) é . Vamos verificar se ele satisfaz as condições de :
á
á
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se y1 = x1 e z1 = w1^2 é fechado sob adição. Isso significa que se tomarmos dois vetores quaisquer y2 = x2 e z2 = w2^2 e u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) em y1 + y2 = x1 + x2 (Válido) , a soma z1 + z2 = w1^2 + w2^2 também deve estar em w1^2 + w2^2 = (w1 + w2)^2 = w1^2 + 2w1w2 + w2^2 .
Sabemos que para e em :
Somando os vetores:
Vamos verificar as condições para :
á
Para que , precisaríamos que:
Isso implica que , o que só é verdade para todos os se ou . Como isso não é garantido para todos os vetores em , não é fechado sob adição.

Passo 4

Como não é fechado sob adição, não precisamos verificar a multiplicação por escalar. Uma das condições para ser um subespaço vetorial já não é satisfeita.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de .

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