Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e .
Para os itens a seguir, assuma que: e .
Determine as coordenadas do vértice .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um paralelogramo com as diagonais e que se cruzam no ponto . As coordenadas dos pontos e são dadas, assim como o vetor . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vértice . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades dos paralelogramos, como o fato de que as diagonais se bissetam.

Passo 2

Sabemos que, em um paralelogramo, as diagonais se cortam no ponto médio. Portanto, o ponto é o ponto médio tanto de quanto de . Vamos primeiro encontrar as coordenadas de calculando o ponto médio de .
As coordenadas de são e as de são . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando os valores de e :

Passo 3

Agora que temos as coordenadas de , vamos utilizar o vetor . Esse vetor representa a direção e o tamanho do deslocamento do ponto até o ponto . Como é o ponto médio de , podemos expressar em termos de e do vetor :

Passo 4

Sabendo que é o ponto médio de , podemos escrever a relação:
Substituindo pela expressão encontrada no passo anterior:

Passo 5

Sabemos que as coordenadas de são . Portanto, podemos montar a equação:
Para encontrar , basta isolar:

Resposta

As coordenadas do vértice são .

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Calcule a área do triângulo de vértice e .