Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e .
Para os itens a seguir, assuma que: e .
Determine as coordenadas do vértice B.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um paralelogramo ABCD com as diagonais AC e BD que se cruzam no ponto P. As coordenadas dos pontos A e C são dadas, assim como o vetor BD. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vértice B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades dos paralelogramos, como o fato de que as diagonais se bissetam.
Passo 2
Sabemos que, em um paralelogramo, as diagonais se cortam no ponto médio. Portanto, o ponto P é o ponto médio tanto de AC quanto de BD. Vamos primeiro encontrar as coordenadas de P calculando o ponto médio de AC.
As coordenadas de A são (-2, 0, 1) e as de C são (4, -6, 1). A fórmula para o ponto médio P entre dois pontos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) é:
P = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 )
Aplicando os valores de A e C:
P = ( -2 + 42, 0 + (-6)2, 1 + 12 ) = (1, -3, 1)
Passo 3
Agora que temos as coordenadas de P, vamos utilizar o vetor BD = (2, -4, 2). Esse vetor representa a direção e o tamanho do deslocamento do ponto B até o ponto D. Como P é o ponto médio de BD, podemos expressar D em termos de B e do vetor BD:
D = B + BD = B + (2, -4, 2)
Passo 4
Sabendo que P é o ponto médio de BD, podemos escrever a relação:
P = B + D2
Substituindo D pela expressão encontrada no passo anterior:
P = B + (B + (2, -4, 2))2 = 2B + (2, -4, 2)2 = B + (1, -2, 1)
Passo 5
Sabemos que as coordenadas de P são (1, -3, 1). Portanto, podemos montar a equação: