Beleza, vamos resolver esse problema de geometria analítica juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz com que os pontos , , e estejam no mesmo plano, ou seja, que sejam coplanares. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e produto misto para verificar a coplanaridade desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que quatro pontos estão no mesmo plano. Em geometria analítica, quatro pontos são coplanares se o volume do tetraedro formado por eles for zero. Para calcular esse volume, usamos o produto misto de três vetores que partem de um dos pontos.
Vamos escolher o ponto como referência e formar os vetores , e .
Passo 3
Calculando os vetores:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto misto . Se esse produto for igual a zero, os pontos são coplanares.
Primeiro, encontramos o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Agora, fazemos o produto escalar :
Simplificando:
Passo 6
Para que os pontos sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero: