Para que valor de os pontos e são coplanares?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria analítica juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz com que os pontos , , e estejam no mesmo plano, ou seja, que sejam coplanares. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e produto misto para verificar a coplanaridade desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que quatro pontos estão no mesmo plano. Em geometria analítica, quatro pontos são coplanares se o volume do tetraedro formado por eles for zero. Para calcular esse volume, usamos o produto misto de três vetores que partem de um dos pontos.
Vamos escolher o ponto como referência e formar os vetores , e .

Passo 3

Calculando os vetores:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto misto . Se esse produto for igual a zero, os pontos são coplanares.
Primeiro, encontramos o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar :
Simplificando:

Passo 6

Para que os pontos sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna os pontos coplanares é .

Exercícios relacionados

Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e .
Para os itens a seguir, assuma que: e .
Determine as coordenadas do vértice .
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (cone)
Calcule a área do triângulo de vértice e .
Considere a seguinte situação:
Uma indústria produz três produtos, e , utilizando dois tipos de insumo, e . Para cada do produto são utilizados do insumo e do insumo ; para cada de , são usados do insumo e de ; e para cada do produto são utilizados de e de . O preço de venda do Kg de cada um dos produtos e é, respectivamente, 2,3 e 5 reais. Com a venda de toda a produção de e manufaturada com 1 Kg de e 2 Kg de , essa idústria arrecadou 2500 reais.
O problema de determinar quantos Kg de cada um dos produtos e foram vendidos pode ser modelado por um sistema linear. Qual sistema é esse? (Comece fazendo uma tabela para organizar os dados. Apresente as incógnitas e monte as equações do sistema a partir dos dados. Você não precisa resolvê-lo.)