Para que valor de m os pontos A(m, 1,2), B(1,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são coplanares?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria analítica juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz com que os pontos , , e estejam no mesmo plano, ou seja, que sejam coplanares. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e produto misto para verificar a coplanaridade desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que quatro pontos estão no mesmo plano. Em geometria analítica, quatro pontos são coplanares se o volume do tetraedro formado por eles for zero. Para calcular esse volume, usamos o produto misto de três vetores que partem de um dos pontos.
Vamos escolher o ponto como referência e formar os vetores , e .

Passo 3

Calculando os vetores:
AB = B - A = (1 - m, -2 - 1, -3 - 2) = (1 - m, -3, -5)
AC = C - A = (5 - m, -1 - 1, 1 - 2) = (5 - m, -2, -1)
AD = D - A = (3 - m, -2 - 1, -2 - 2) = (3 - m, -3, -4)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto misto AC times AD = i & j & k 5 - m & -2 & -1 3 - m & -3 & -4 . Se esse produto for igual a zero, os pontos são coplanares.
Primeiro, encontramos o produto vetorial AC times AD = i ( (-2)(-4) - (-1)(-3) ) - j ( (5 - m)(-4) - (-1)(3 - m) ) + k ( (5 - m)(-3) - (-2)(3 - m) ) :
AC times AD = i (8 - 3) - j ( -4(5 - m) + (3 - m) ) + k ( -3(5 - m) + 2(3 - m) )
Calculando o determinante:
= 5i - j ( -20 + 4m + 3 - m ) + k ( -15 + 3m + 6 - 2m )
Simplificando:
= 5i - j ( -17 + 3m ) + k ( -9 + m )
= 5i + (17 - 3m)j + (-9 + m)k

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar AB cdot (AC times AD) = (1 - m)(5) + (-3)(17 - 3m) + (-5)(-9 + m) :
= 5(1 - m) - 3(17 - 3m) + (-5)(-9 + m)
Simplificando:
= 5 - 5m - 51 + 9m + 45 - 5m
= (5 - 51 + 45) + (-5m + 9m - 5m)
= (-1) + (-1m)
= -1 - m

Passo 6

Para que os pontos sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero:
-1 - m = 0
Resolvendo para - m = 1 implies m = -1 :

Resposta

O valor de que torna os pontos coplanares é .

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