Calcule a área do triângulo de vértices A=(2,1,2), B=(2,0,0) e (5,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um triângulo cujos vértices são , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço tridimensional, especificamente o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, a gente cria dois vetores que estão no plano do triângulo. Vamos tirar o vetor AB = B - A = (2-2, 0-1, 0-2) = (0, -1, -2) subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, vamos criar o vetor AC = C - A = (5-2, 2-1, 3-2) = (3, 1, 1) da mesma forma, subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 4

Com os vetores AB times AC = i & j & k 0 & -1 & -2 3 & 1 & 1 e AB times AC = i [(-1)(1) - (-2)(1)] - j [(0)(1) - (-2)(3)] + k [(0)(1) - (-1)(3)] = (1, -6, 3) prontos, vamos calcular o produto vetorial deles, que nos ajuda a encontrar uma área relacionada a esses vetores:
Resolvendo o determinante:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante, que representa o dobro da área do triângulo:
|AB times AC| = raiz1^2 + (-6)^2 + 3^2 = raiz1 + 36 + 9 = raiz46

Passo 6

Finalmente, como a área do triângulo é a metade do módulo do produto vetorial, temos:
Área = 12 |AB times AC| = raiz462 Á

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

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