Sobre a hipérbole -9 x^2+49 y^2=441 e a reta -3 x+7 y=21, é correto afirmar que:
a. intersectam-se nos pontos (3,0) e (7,3)
b. não se intersectam em nenhum ponto
c. intersectam-se apenas no ponto (3,0)
d. intersectam-se apenas no ponto (0,3)
e. intersectam-se nos pontos (0,3) e (7,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir onde a hipérbole e a reta se cruzam. A matéria aqui envolve Sistemas de Equações, e vamos precisar usar métodos de substituição ou eliminação para achar os pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da reta para facilitar a substituição. A equação dada é -3x + 7y = 21 implies -3x = 21 - 7y implies x = 7y - 213 . Vamos isolar uma das variáveis, por exemplo, :

Passo 3

Agora que temos -9x^2 + 49y^2 = 441 em termos de -9(7y - 213)^2 + 49y^2 = 441 , vamos substituir essa expressão na equação da hipérbole:
Substituindo :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
(7y - 213)^2 = (7y - 21)^29 = 49y^2 - 294y + 4419
Multiplicando por -9:
-9 times 49y^2 - 294y + 4419 = -49y^2 + 294y - 441

Passo 5

Substituindo de volta na equação da hipérbole:
-49y^2 + 294y - 441 + 49y^2 = 441
Os termos 294y - 441 = 441 e se cancelam:

Passo 6

Resolvendo para 294y = 441 + 441 implies 294y = 882 implies y = 882294 implies y = 3 :

Passo 7

Agora que sabemos que x = 7y - 213 = 7 times 3 - 213 = 21 - 213 = 0 , vamos substituir esse valor na expressão que encontramos para :

Passo 8

Portanto, o ponto de interseção é .

Resposta

A hipérbole e a reta se intersectam apenas no ponto . A opção correta é a d.

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