Sejam
e
o conjunto dos vetores ortogonais a
. Prove que
Se
e
são dois vetores LI de
, então
é LI;
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência linear e ortogonalidade. A questão nos dá um vetor
que não é o vetor nulo e um conjunto
que contém todos os vetores que são ortogonais a
. A gente precisa provar que se
e
são dois vetores que são linearmente independentes (LI) dentro desse conjunto
, então o trio formado por
,
e
também é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar definições de independência linear e ortogonalidade, além de algumas propriedades desses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) entre eles é zero. Então, como
é o conjunto de vetores ortogonais a
, qualquer vetor
em
satisfaz:
Passo 3
Agora, vamos recordar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, para vetores
,
, e
, se:
Então necessariamente:
Passo 4
Sabemos que
e
são linearmente independentes em
, então:
Isso significa que não há combinação não trivial de
e
que resulte no vetor zero.
Passo 5
Vamos supor agora que temos uma combinação linear dos três vetores
,
e
que resulta no vetor zero:
Nosso objetivo é mostrar que isso implica que
.
Passo 6
Como
e
estão em
, elas são ortogonais a
. Vamos aproveitar isso para descobrir mais informações sobre os coeficientes
,
e
.
Passo 7
Vamos fazer o produto interno da equação acima com
:
Distribuindo o produto interno:
Passo 8
Sabemos que
e
são ortogonais a
, então
e
. Assim, a equação simplifica para:
Passo 9
Como
, o produto
(é o quadrado do comprimento de
). Portanto, a única solução para
é
.
Passo 10
Com
, a equação original fica:
Como
e
são linearmente independentes, isso implica que
e
.
Resposta
Portanto, a única solução para a combinação linear ser zero é
, o que mostra que os vetores
são linearmente independentes.