Sejam u neq 0 e T o conjunto dos vetores ortogonais a u. Prove que
Se v e w são dois vetores LI de T, então (u, v, w) é LI;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência linear e ortogonalidade. A questão nos dá um vetor u que não é o vetor nulo e um conjunto T que contém todos os vetores que são ortogonais a u. A gente precisa provar que se v e w são dois vetores que são linearmente independentes (LI) dentro desse conjunto T, então o trio formado por u, v e w também é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar definições de independência linear e ortogonalidade, além de algumas propriedades desses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) entre eles é zero. Então, como T é o conjunto de vetores ortogonais a u, qualquer vetor t em T satisfaz:
u cdot t = 0

Passo 3

Agora, vamos recordar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, para vetores a, b, e c, se:
k1a + k2b + k3c = 0
Então necessariamente:
k1 = k2 = k3 = 0

Passo 4

Sabemos que v e w são linearmente independentes em T, então:
k1v + k2w = 0 Rightarrow k1 = k2 = 0
Isso significa que não há combinação não trivial de v e w que resulte no vetor zero.

Passo 5

Vamos supor agora que temos uma combinação linear dos três vetores u, v e w que resulta no vetor zero:
au + bv + cw = 0
Nosso objetivo é mostrar que isso implica que a = b = c = 0.

Passo 6

Como v e w estão em T, elas são ortogonais a u. Vamos aproveitar isso para descobrir mais informações sobre os coeficientes a, b e c.

Passo 7

Vamos fazer o produto interno da equação acima com u:
u cdot (au + bv + cw) = u cdot 0 = 0
Distribuindo o produto interno:
a(u cdot u) + b(u cdot v) + c(u cdot w) = 0

Passo 8

Sabemos que v e w são ortogonais a u, então u cdot v = 0 e u cdot w = 0. Assim, a equação simplifica para:
a(u cdot u) = 0

Passo 9

Como u neq 0, o produto u cdot u > 0 (é o quadrado do comprimento de u). Portanto, a única solução para a(u cdot u) = 0 é a = 0.

Passo 10

Com a = 0, a equação original fica:
0u + bv + cw = 0 Rightarrow bv + cw = 0
Como v e w são linearmente independentes, isso implica que b = 0 e c = 0.

Resposta

Portanto, a única solução para a combinação linear ser zero é a = b = c = 0, o que mostra que os vetores (u, v, w) são linearmente independentes.

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