Dados os vetores u=(1,2,5) e v=(2,3,10), calcule a área do paralelogramo determinado por 2 u-3 v e 4 u.

Passo 1

Beleza, então a gente tem dois vetores, u = (1, 2, 5) e v = (2, 3, 10). A tarefa aqui é calcular a área do paralelogramo formado por 2u - 3v e 4u. Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores que formam o paralelogramo. A gente tem que achar 2u - 3v e 4u.
Calculando 2u:
2u = 2 times (1, 2, 5) = (2, 4, 10)
Calculando 3v:
3v = 3 times (2, 3, 10) = (6, 9, 30)
Agora, subtraindo:
2u - 3v = (2 - 6, 4 - 9, 10 - 30) = (-4, -5, -20)
E calculando 4u:
4u = 4 times (1, 2, 5) = (4, 8, 20)

Passo 3

Para encontrar a área do paralelogramo formado por dois vetores, a gente usa o produto vetorial desses vetores. O módulo (ou seja, o tamanho) do produto vetorial dá justamente a área do paralelogramo.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial entre 2u - 3v = (-4, -5, -20) e 4u = (4, 8, 20).
O produto vetorial a times b é dado por:
a times b = ( ay bz - az by,, az bx - ax bz,, ax by - ay bx )
Aplicando aqui:
a = (-4, -5, -20) b = (4, 8, 20)
Calculando cada componente:
  • Componente x:
(-5)(20) - (-20)(8) = -100 + 160 = 60
  • Componente y:
(-20)(4) - (-4)(20) = -80 + 80 = 0
  • Componente z:
(-4)(8) - (-5)(4) = -32 + 20 = -12
Então,
a times b = (60, 0, -12)

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor produto vetorial para achar a área:
|a times b| = raiz60^2 + 0^2 + (-12)^2 = raiz3600 + 0 + 144 = raiz3744
Simplificando:
raiz3744 = raiz144 times 26 = 12raiz26

Resposta

A área do paralelogramo determinado por 2u - 3v e 4u é 12raiz26 unidades de área.

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