Calcule as áreas abaixo: Área da região limitada pela curva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região que está limitada pela curva definida pela equação . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica para resolver isso. Precisamos identificar que tipo de curva essa equação representa e, depois, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender como manipular a equação para trazê-la para uma forma mais familiar, que facilite o cálculo da área.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação da curva. Temos:
Isso parece uma combinação de duas expressões quadráticas. Vamos chamar e , então a equação fica . Essa é a equação padrão de um círculo com raio 1 no plano . Isso significa que, no sistema de coordenadas e , a curva é um círculo de raio 1.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar isso de volta às coordenadas e . Como temos uma transformação linear entre e , podemos pensar que a área no plano será a área do círculo no plano multiplicada pelo determinante da matriz de transformação.
A matriz de transformação é dada pelos coeficientes de e nas expressões de e :
O determinante dessa matriz é:
Isso significa que a área no plano será a área do círculo no plano multiplicada por , ou seja, .

Passo 4

Sabemos que a área de um círculo é dada por . No plano , o raio , então a área é .
Portanto, a área no plano será:
Á

Resposta

A área da região limitada pela curva é unidades de área.

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(a) , onde
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(e) , onde