Calcule as áreas abaixo: Área da região limitada pela curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região que está limitada pela curva definida pela equação
. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica para resolver isso. Precisamos identificar que tipo de curva essa equação representa e, depois, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender como manipular a equação para trazê-la para uma forma mais familiar, que facilite o cálculo da área.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação da curva. Temos:
Isso parece uma combinação de duas expressões quadráticas. Vamos chamar
e
, então a equação fica
. Essa é a equação padrão de um círculo com raio 1 no plano
. Isso significa que, no sistema de coordenadas
e
, a curva é um círculo de raio 1.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar isso de volta às coordenadas
e
. Como temos uma transformação linear entre
e
, podemos pensar que a área no plano
será a área do círculo no plano
multiplicada pelo determinante da matriz de transformação.
A matriz de transformação é dada pelos coeficientes de
e
nas expressões de
e
:
O determinante dessa matriz é:
Isso significa que a área no plano
será a área do círculo no plano
multiplicada por
, ou seja,
.
Passo 4
Sabemos que a área de um círculo é dada por
. No plano
, o raio
, então a área é
.
Portanto, a área no plano
será:
Resposta
A área da região limitada pela curva é
unidades de área.
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Calcule:
(a) , onde
(a)
Se
e
, ache
.
Calcule:
© , onde
©
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(e) , onde
(e)