Calcule:
© integral0^6 f(x) d x, onde f(x)= x^2, & se x<2 3 x-2, & se x >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para calcular . A função é definida de forma diferente dependendo do valor de :
  • Para ,
  • Para ,
Vamos precisar usar o conceito de integrais definidas e entender como lidar com funções que mudam de expressão em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. No caso, a mudança acontece em . Isso significa que vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De até , onde
  2. De até , onde

Passo 3

Escrevendo a integral dividida, temos:
integral0^6 f(x) , dx = integral0^2 x^2 , dx + integral2^6 (3x - 2) , dx

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, integral0^2 x^2 , dx = [ x^33 ]0^2 = 2^33 - 0^33 = 83 - 0 = 83 :
A integral de em relação a é .
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral, integral2^6 (3x - 2) , dx = [ 3x^22 - 2x ]2^6 :
A integral de 3 times 6^22 - 2 times 6 = 3 times 362 - 12 = 1082 - 12 = 54 - 12 = 42 é 3 times 2^22 - 2 times 2 = 3 times 42 - 4 = 122 - 4 = 6 - 4 = 2 e a integral de integral2^6 (3x - 2) , dx = 42 - 2 = 40 é .
Então,
Calculando para :
E para :
Então,

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
83 + 40 = 83 + 1203 = 1283

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados