Calcule:
© , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para calcular . A função é definida de forma diferente dependendo do valor de :
  • Para ,
  • Para ,
Vamos precisar usar o conceito de integrais definidas e entender como lidar com funções que mudam de expressão em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. No caso, a mudança acontece em . Isso significa que vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De até , onde
  2. De até , onde

Passo 3

Escrevendo a integral dividida, temos:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, :
A integral de em relação a é .
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral, :
A integral de é e a integral de é .
Então,
Calculando para :
E para :
Então,

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule as áreas abaixo: Área da região limitada pela curva .
Calcule:
(a) , onde
Calcule:
(e) , onde
Determine a massa: de uma lâmina semicircular cuja densidade em qualquer ponto é .