Calcule:
(e) integral0^4 f(x) d x, onde f(x)= raizx, & se 0 <= x<1 1x^2, & se x >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral f(x) = raizx, & se 0 <= x < 1 1x^2, & se x >= 1 , onde a função é definida por:
Aqui, estamos trabalhando com integração por partes onde a função é definida de forma diferente em intervalos distintos. Vamos precisar dividir a integral nesses intervalos e calcular cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função integral0^4 f(x) dx = integral0^1 raizx , dx + integral1^4 1x^2 , dx muda sua expressão. Nesse caso, a mudança ocorre em . Então, vamos dividir a integral de a em duas partes:

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C .
Sabemos que integral x^1/2 , dx = x^3/23/2 = 23 x^3/2 é o mesmo que 23 x^3/2 |0^1 = 23 (1)^3/2 - 23 (0)^3/2 = 23 - 0 = 23 . A regra básica de integração para é:
Aplicando isso:
Agora, avaliamos de a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral: integral x^-2 , dx = x^-1-1 = -1x .
Podemos reescrever -1x |1^4 = -14 - (-11) = -14 + 1 = 34 como . Aplicando a regra de integração:
Agora, avaliamos de a :

Resposta

Somando as duas integrais calculadas:
integral0^4 f(x) dx = 23 + 34 = 812 + 912 = 1712
Então, o valor da integral é .

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