Calcule:
(e) , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral , onde a função é definida por:
Aqui, estamos trabalhando com integração por partes onde a função é definida de forma diferente em intervalos distintos. Vamos precisar dividir a integral nesses intervalos e calcular cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função muda sua expressão. Nesse caso, a mudança ocorre em . Então, vamos dividir a integral de a em duas partes:

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: .
Sabemos que é o mesmo que . A regra básica de integração para é:
Aplicando isso:
Agora, avaliamos de a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral: .
Podemos reescrever como . Aplicando a regra de integração:
Agora, avaliamos de a :

Resposta

Somando as duas integrais calculadas:
Então, o valor da integral é .

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Calcule:
© , onde
Calcule as áreas abaixo: Área da região limitada pela curva .
Determine a massa: de uma lâmina semicircular cuja densidade em qualquer ponto é .
Estime o valor das seguintes integrais:
©