Se integral0^1 f(x) d x=2, integral0^4 f(x) d x=-6 e integral3^4 f(t) d t=1, ache integral1^3 5 f(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve integrais definidas. A gente sabe o valor de algumas integrais de uma função em certos intervalos e precisa encontrar o valor de outra integral envolvendo essa função. Especificamente, queremos calcular . Para resolver isso, vamos utilizar as propriedades das integrais definidas, principalmente a propriedade da aditividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada integral nos dá:
  • : Isso significa que a área sob a curva de entre e é igual a 2.
  • : A área total sob de até é -6.
  • : A área de de até é 1.

Passo 3

Queremos encontrar integrala^c f(x) , dx = integrala^b f(x) , dx + integralb^c f(x) , dx . Vamos começar encontrando integral0^4 f(x) , dx = integral0^1 f(x) , dx + integral1^3 f(x) , dx + integral3^4 f(x) , dx e depois multiplicar por 5. Para isso, usamos a propriedade da aditividade das integrais, que diz que:
Aplicando isso ao nosso caso, temos:

Passo 4

Substituindo os valores que conhecemos:
-6 = 2 + integral1^3 f(x) , dx + 1
Agora, vamos resolver para integral1^3 f(x) , dx = -6 - 2 - 1 = -9 :

Passo 5

Agora que sabemos que integrala^b k f(x) , dx = k integrala^b f(x) , dx , vamos calcular integral1^3 5 f(x) , dx = 5 times integral1^3 f(x) , dx = 5 times (-9) = -45 . Usamos a propriedade da constante multiplicativa nas integrais:
Aplicando isso:

Resposta

O valor de é -45.

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