Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial d a :
(d) 0 < r < 4, 60 < θ < 90, φ = constante

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma superfície definida em coordenadas esféricas. O enunciado fala sobre uma região onde o raio varia de 0 a 4, o ângulo polar varia de 60° a 90°, e o ângulo azimutal é constante. Para isso, vamos usar a fórmula da área diferencial em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da área diferencial em coordenadas esféricas, que é dada por:
Como é constante no nosso caso, , mas na verdade, estamos considerando uma superfície onde é fixo, então precisamos pensar na área lateral dessa superfície.

Passo 3

Nesse contexto, com constante, estamos lidando com uma superfície que se estende em e . Portanto, a área diferencial simplifica para:
Isso porque a variação em não contribui para a área quando é constante.

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão para encontrar a área total da superfície. Os limites de integração são:
  • vai de 0 a 4
  • vai de 60° a 90° (que em radianos é a )
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resolvendo essa integral:

Resposta

A área da superfície é igual a 4 unidades de área.

Exercícios relacionados