Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
(d)
constante
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma superfície definida em coordenadas esféricas. O enunciado fala sobre uma região onde o raio
varia de 0 a 4, o ângulo polar
varia de 60° a 90°, e o ângulo azimutal
é constante. Para isso, vamos usar a fórmula da área diferencial em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da área diferencial em coordenadas esféricas, que é dada por:
Como
é constante no nosso caso,
, mas na verdade, estamos considerando uma superfície onde
é fixo, então precisamos pensar na área lateral dessa superfície.
Passo 3
Nesse contexto, com
constante, estamos lidando com uma superfície que se estende em
e
. Portanto, a área diferencial simplifica para:
Isso porque a variação em
não contribui para a área quando
é constante.
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão para encontrar a área total da superfície. Os limites de integração são:
-
vai de 0 a 4 -
vai de 60° a 90° (que em radianos é a )
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resolvendo essa integral:
Resposta
A área da superfície é igual a 4 unidades de área.