encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o gradiente de um campo escalar dado pela função
. O gradiente é um conceito da Cálculo Vetorial que nos ajuda a entender como a função muda em cada direção. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que a gente considera
e
como constantes e só olha como
muda quando
muda.
Para a primeira parte
, a derivada em relação a
é
(já que
é constante). A segunda parte
não depende de
, então a derivada é 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, a gente trata
e
como constantes.
A primeira parte
não depende de
, então a derivada é 0. A segunda parte
tem uma dependência direta em
, então a derivada é
.
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A gente trata
e
como constantes.
Para a primeira parte
, a derivada em relação a
é
. Para a segunda parte
, a derivada é
.
Resposta
Então, juntando tudo, o gradiente de
é:
Exercícios relacionados
Dado que
, calcule
sobre a região
.
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
©
©
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(b)
(b)
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
(d) constante
(d)