encontre o volume de um cone, seccionado de um esfera de raio , limitado pode . Calcule o volume quando e .

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria onde precisamos encontrar o volume de um cone que está cortado de uma esfera de raio . Esse cone é limitado por um ângulo . Nossa tarefa é calcular esse volume para dois casos específicos: quando e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de volumes de figuras tridimensionais, especialmente da esfera e do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas que vamos precisar:
  • O volume de uma esfera é dado por:
  • O volume de um cone é dado por:
No nosso caso, o cone está seccionado de uma esfera, então vamos usar essas fórmulas para relacionar as dimensões do cone com o raio da esfera.

Passo 3

Vamos imaginar a esfera com raio e o cone que está cortando essa esfera. O ângulo define a abertura do cone. Para encontrar o volume do cone seccionado, precisamos relacionar a altura do cone e o raio da base do cone com o raio da esfera .

Passo 4

Usando trigonometria, podemos relacionar e com :
O raio da base do cone pode ser encontrado por:
Agora, substituímos e na fórmula do volume do cone:

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume para os dois casos:
  1. Quando :
  1. Quando :

Resposta

O volume do cone seccionado da esfera é:
  • Para :
  • Para :

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