encontre o volume de um cone, seccionado de um esfera de raio
, limitado pode
. Calcule o volume quando
e
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria onde precisamos encontrar o volume de um cone que está cortado de uma esfera de raio
. Esse cone é limitado por um ângulo
. Nossa tarefa é calcular esse volume para dois casos específicos: quando
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de volumes de figuras tridimensionais, especialmente da esfera e do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas que vamos precisar:
- O volume de uma esfera é dado por:
- O volume de um cone é dado por:
No nosso caso, o cone está seccionado de uma esfera, então vamos usar essas fórmulas para relacionar as dimensões do cone com o raio da esfera.
Passo 3
Vamos imaginar a esfera com raio
e o cone que está cortando essa esfera. O ângulo
define a abertura do cone. Para encontrar o volume do cone seccionado, precisamos relacionar a altura do cone
e o raio da base do cone
com o raio da esfera
.
Passo 4
Usando trigonometria, podemos relacionar
e
com
:
O raio da base do cone pode ser encontrado por:
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume do cone:
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume para os dois casos:
- Quando
:
- Quando
:
Resposta
O volume do cone seccionado da esfera é:
- Para
: - Para
:
Exercícios relacionados
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
(d) constante
(d)
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(b)
(b)
Seja
. Calcule
sobre uma região retangular dada por
.
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(a)
(a)