Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com as operações de divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do divergente e do rotacional nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial mede a taxa com que “fluides” estão saindo ou entrando em um ponto. Em coordenadas cilíndricas , a fórmula do divergente é:
No nosso caso, o campo tem componentes , (já que não há termo em ), e .

Passo 3

Vamos calcular cada termo do divergente:

Passo 4

Agora, somando esses termos, temos:

Passo 5

Vamos agora calcular o rotacional (também conhecido como curl) do campo vetorial. O rotacional nos mostra a tendência do campo vetorial girar ao redor de um ponto. Em coordenadas cilíndricas, a fórmula do rotacional é:
No nosso caso, , então simplifica um pouco.

Passo 6

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 7

Juntando as componentes, o rotacional fica:

Resposta

O divergente do campo é e o rotacional é .

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(a)
Dado que , calcule sobre a região .
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(d) constante
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