Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com as operações de divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do divergente e do rotacional nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial mede a taxa com que “fluides” estão saindo ou entrando em um ponto. Em coordenadas cilíndricas
, a fórmula do divergente é:
No nosso caso, o campo
tem componentes
,
(já que não há termo em
), e
.
Passo 3
Vamos calcular cada termo do divergente:
Passo 4
Agora, somando esses termos, temos:
Passo 5
Vamos agora calcular o rotacional (também conhecido como curl) do campo vetorial. O rotacional nos mostra a tendência do campo vetorial girar ao redor de um ponto. Em coordenadas cilíndricas, a fórmula do rotacional é:
No nosso caso,
, então simplifica um pouco.
Passo 6
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 7
Juntando as componentes, o rotacional fica:
Resposta
O divergente do campo
é
e o rotacional é
.
Exercícios relacionados
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(a)
(a)
Dado que
, calcule
sobre a região
.
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
(d) constante
(d)
encontre o volume de um cone, seccionado de um esfera de raio
, limitado pode
. Calcule o volume quando
e
.