Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial d a :
(a) rho = 2,0 < z < 5, pi/3 < phi < pi/2

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a área de uma superfície definida por rho = 2, e . Para isso, vamos usar a área da superfície diferencial . Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como integrar para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, identificamos que as condições dadas estão em coordenadas cilíndricas, onde:
  • rho é a distância radial (raio),
  • phi é o ângulo azimutal (ângulo no plano xy),
  • z é a altura.

Passo 3

A equação rho = 2 define um cilindro de raio 2. As condições e limitam a altura e a parte angular desse cilindro que vamos considerar.

Passo 4

A área diferencial para a superfície lateral de um cilindro em coordenadas cilíndricas é dada por:
Isso significa que, para calcular a área total, precisamos integrar essa expressão sobre os limites dados.

Passo 5

Vamos montar a integral para a área total A:

Passo 6

Substituindo rho = 2 na integral:

Passo 7

Calculando a diferença dos ângulos:

Passo 8

Agora, integramos em relação a z:

Resposta

A área da superfície é .

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