Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial :
(a)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a área de uma superfície definida por , e . Para isso, vamos usar a área da superfície diferencial . Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como integrar para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, identificamos que as condições dadas estão em coordenadas cilíndricas, onde:
  • é a distância radial (raio),
  • é o ângulo azimutal (ângulo no plano xy),
  • é a altura.

Passo 3

A equação define um cilindro de raio 2. As condições e limitam a altura e a parte angular desse cilindro que vamos considerar.

Passo 4

A área diferencial para a superfície lateral de um cilindro em coordenadas cilíndricas é dada por:
Isso significa que, para calcular a área total, precisamos integrar essa expressão sobre os limites dados.

Passo 5

Vamos montar a integral para a área total :

Passo 6

Substituindo na integral:

Passo 7

Calculando a diferença dos ângulos:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A área da superfície é .

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Calcule o fluxo total do vetor:
que sai através de um cilindro ôco, definido por
Seja . Calcule:
(a)
na região definida por ,
Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
(a)
Calcule dä, onde é a superfície de uma fatia cilíndrica definida por , e da é é normal a essa superfície. Assuma que .
Dica: e z devem ser convertidos para o sistema de coordenadas cilíndricas