Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a área de uma superfície definida por
,
e
. Para isso, vamos usar a área da superfície diferencial
. Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como integrar para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, identificamos que as condições dadas estão em coordenadas cilíndricas, onde:
-
é a distância radial (raio), -
é o ângulo azimutal (ângulo no plano xy), -
é a altura.
Passo 3
A equação
define um cilindro de raio 2. As condições
e
limitam a altura e a parte angular desse cilindro que vamos considerar.
Passo 4
A área diferencial para a superfície lateral de um cilindro em coordenadas cilíndricas é dada por:
Isso significa que, para calcular a área total, precisamos integrar essa expressão sobre os limites dados.
Passo 5
Vamos montar a integral para a área total
:
Passo 6
Substituindo
na integral:
Passo 7
Calculando a diferença dos ângulos:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A área da superfície é
.