Utilize o volume diferencial
para determinar os volumes das seguintes regiões:
(a)
(a)
Passo 1
Fala! Então, a gente tem que calcular o volume de uma região no espaço usando o volume diferencial, que é
. A região que a gente precisa calcular é definida pelas desigualdades:
,
e
. Basicamente, vamos precisar integrar essas desigualdades para encontrar o volume total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o volume diferencial
. No espaço tridimensional, ele é dado por
. Isso significa que para cada pequeno pedaço de volume, a gente tem que multiplicar as variações nos eixos
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. A gente vai integrar
nas faixas dadas:
Primeiro, integraremos em relação a
:
Depois, integraremos em relação a
:
Por fim, integraremos em relação a
:
Resposta
O volume da região é 6 unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
(a)
(a)
Calcule o fluxo total do vetor:
que sai através de um cilindro ôco, definido por
Calcule
dä, onde
é a superfície de uma fatia cilíndrica definida por
,
e da é é normal a essa superfície. Assuma que
.
Dica: e z devem ser convertidos para o sistema de coordenadas cilíndricas
Dica:
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
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