Calcule ointS V dä, onde S é a superfície de uma fatia cilíndrica definida por 0, 0 e da é é normal a essa superfície. Assuma que V=(x+y) z.
Dica: x, y e z devem ser convertidos para o sistema de coordenadas cilíndricas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície , que é uma fatia de cilindro definida por e . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos, já que a dica sugere converter , e para esse sistema. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral usando essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Ela é uma fatia de cilindro com raio , mas como o raio não está especificado, assumimos que o cilindro tem raio 1 para simplificar (se não for especificado). A superfície consiste de três partes:
  1. A superfície lateral do cilindro: onde varia de 0 a e varia de 0 a 2.
  2. A face inferior: no plano , onde varia de 0 a 1 e de 0 a .
  3. A face superior: no plano , com as mesmas variações de e .
Vamos calcular a integral sobre cada uma dessas partes e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar pela superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, as coordenadas são dA = er , r , dphi , dz , dA = er , dphi , dz , e V = (x + y)z = (rcosphi + rsinphi)z = r(cosphi + sinphi)z . Para a superfície lateral, V cdot dA = r(cosphi + sinphi)z cdot er cdot er = r(cosphi + sinphi)z (assumindo raio 1).
O vetor área V cdot dA = (cosphi + sinphi)z , dphi , dz para a superfície lateral aponta radialmente para fora e é dado por:
integral0^2 integral0^pi2 (cosphi + sinphi)z , dphi , dz
Como :
O campo vetorial em coordenadas cilíndricas fica:
Então, o produto escalar é:
Como :
Agora, vamos integrar sobre de 0 a e de 0 a 2:

Passo 4

Vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a integral0^pi2 (cosphi + sinphi) , dphi = sinphi - cosphi |0^pi2 = (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2 :
integral0^2 2z , dz = 2 cdot z^22 |0^2 = z^2 |0^2 = 4 - 0 = 4
Agora, a integral em relação a :
Portanto, a contribuição da superfície lateral é 4.

Passo 5

Agora, vamos considerar as faces superior e inferior.
Para a face inferior ( V = (x + y)z = 0 ):
V = (x + y) cdot 2 = 2(x + y) = 2(rcosphi + rsinphi) = 2(cosphi + sinphi)
Então, dA = ez , r , dr , dphi nessa face.
Para a face superior ( V cdot dA = 2(cosphi + sinphi) cdot ez cdot ez = 2(cosphi + sinphi) ):
integral0^pi2 integral0^1 2(cosphi + sinphi) , r , dr , dphi
O vetor área integral0^1 2(cosphi + sinphi) , r , dr = 2(cosphi + sinphi) cdot r^22 |0^1 = (cosphi + sinphi) aponta para cima, na direção integral0^pi2 (cosphi + sinphi) , dphi = sinphi - cosphi |0^pi2 = (1 - 0) - (0 - 1) = 2 :
Como estamos na face superior com , varia de 0 a 1 e de 0 a :
Portanto, a integral sobre a face superior é:
Integrando primeiro em :
Agora, integramos em :
Então, a contribuição da face superior é 2.

Passo 6

Finalmente, somamos as contribuições das duas partes:
  • Superfície lateral: 4
  • Face superior: 2
  • Face inferior: 0
Total:
4 + 2 + 0 = 6

Resposta

A integral de superfície é igual a 6.

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