Calcule dä, onde é a superfície de uma fatia cilíndrica definida por , e da é é normal a essa superfície. Assuma que .
Dica: e z devem ser convertidos para o sistema de coordenadas cilíndricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície , que é uma fatia de cilindro definida por e . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos, já que a dica sugere converter , e para esse sistema. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral usando essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . Ela é uma fatia de cilindro com raio , mas como o raio não está especificado, assumimos que o cilindro tem raio 1 para simplificar (se não for especificado). A superfície consiste de três partes:
A superfície lateral do cilindro: onde varia de 0 a e varia de 0 a 2.
A face inferior: no plano , onde varia de 0 a 1 e de 0 a .
A face superior: no plano , com as mesmas variações de e .
Vamos calcular a integral sobre cada uma dessas partes e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos começar pela superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, as coordenadas são , , e . Para a superfície lateral, (assumindo raio 1).
O vetor área para a superfície lateral aponta radialmente para fora e é dado por:
Como :
O campo vetorial em coordenadas cilíndricas fica:
Então, o produto escalar é:
Como :
Agora, vamos integrar sobre de 0 a e de 0 a 2:
Passo 4
Vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral em relação a :
Portanto, a contribuição da superfície lateral é 4.
Passo 5
Agora, vamos considerar as faces superior e inferior.
Para a face inferior ():
Então, nessa face.
Para a face superior ():
O vetor área aponta para cima, na direção :
Como estamos na face superior com , varia de 0 a 1 e de 0 a :
Portanto, a integral sobre a face superior é:
Integrando primeiro em :
Agora, integramos em :
Então, a contribuição da face superior é 2.
Passo 6
Finalmente, somamos as contribuições das duas partes: