Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as assíntotas horizontais e verticais da função
. Aqui, vamos usar conceitos de funções racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para encontrar as assíntotas, vamos precisar entender como o comportamento da função se comporta quando
cresce para infinito e onde a função não está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de
que fazem o denominador ser zero, mas o numerador não. Ou seja, vamos resolver a equação do denominador para encontrar esses pontos.
O denominador é
. Vamos fatorar esse polinômio:
Então, as raízes são
e
. Agora, verificamos o numerador nesses pontos para garantir que não seja zero:
Para
:
Para
:
Como o numerador não é zero nesses pontos, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Ela descreve o comportamento da função quando
tende para mais ou menos infinito. Para funções racionais, se os graus do polinômio no numerador e no denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes.
Nosso numerador é
e o denominador é
. Ambos são polinômios de grau 2. Os coeficientes líderes são 1 para ambos.
Então, a assíntota horizontal é:
Isso significa que, conforme
vai para infinito positivo ou negativo, a função se aproxima da linha reta
.
Resposta
A função
possui assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
.
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tem uma raiz no intervalo
.
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