Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções.
f(x)=(x^2+3x+2)/(x^2+2x-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as assíntotas horizontais e verticais da função . Aqui, vamos usar conceitos de funções racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para encontrar as assíntotas, vamos precisar entender como o comportamento da função se comporta quando cresce para infinito e onde a função não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de que fazem o denominador ser zero, mas o numerador não. Ou seja, vamos resolver a equação do denominador para encontrar esses pontos.
O denominador é . Vamos fatorar esse polinômio:
Então, as raízes são e . Agora, verificamos o numerador nesses pontos para garantir que não seja zero:
Para :
Para :
Como o numerador não é zero nesses pontos, temos assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Ela descreve o comportamento da função quando tende para mais ou menos infinito. Para funções racionais, se os graus do polinômio no numerador e no denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes.
Nosso numerador é e o denominador é . Ambos são polinômios de grau 2. Os coeficientes líderes são 1 para ambos.
Então, a assíntota horizontal é:
Isso significa que, conforme vai para infinito positivo ou negativo, a função se aproxima da linha reta .

Resposta

A função possui assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em .

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