Mostre que a equação
tem uma raiz no intervalo
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem a equação
e precisamos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz no intervalo entre 0 e 1. Para isso, vamos usar um conceito de matemática chamado Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema é muito útil para descobrir se uma função cruza o eixo x em determinado intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função da equação:
. O nosso objetivo é encontrar se existe um valor de
entre 0 e 1 que faça
.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo, ou seja, em
e em
.
-
Para
: -
Para
:
Passo 4
Observamos que
e
. Isso significa que a função passa de um valor positivo para um valor negativo quando
vai de 0 para 1.
Passo 5
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre esses dois onde a função é igual a zero. Como
é um polinômio, ela é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
Portanto, a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.
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