Mostre que a equação x^5 - 3 x^4 - 2 x^3 - x + 1 = 0 tem uma raiz no intervalo 0,1.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a equação e precisamos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz no intervalo entre 0 e 1. Para isso, vamos usar um conceito de matemática chamado Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema é muito útil para descobrir se uma função cruza o eixo x em determinado intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função da equação: . O nosso objetivo é encontrar se existe um valor de entre 0 e 1 que faça .

Passo 3

Vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo, ou seja, em e em .
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Observamos que e . Isso significa que a função passa de um valor positivo para um valor negativo quando vai de 0 para 1.

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre esses dois onde a função é igual a zero. Como é um polinômio, ela é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

Portanto, a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo .

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