Calcule os limites abaixo.
lim x pi^- cot (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x pi^- cot (x). A gente está trabalhando com funções trigonométricas, mais especificamente a cotangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cot(x) se comporta conforme x se aproxima de pi pelo lado esquerdo.

Passo 2

Primeiro, lembra que cot(x) é igual a cos(x)sin(x). Então, vamos dar uma olhada em como cos(x) e sin(x) se comportam quando x está perto de pi pela esquerda.

Passo 3

Vamos ver cos(x): sabemos que cos(pi) = -1. Conforme x se aproxima de pi, cos(x) fica muito perto de -1.

Passo 4

Agora, sobre sin(x): sabemos que sin(pi) = 0. Mas, como x está chegando em pi pela esquerda, ou seja, valores menores que pi, sin(x) está se aproximando de 0 por valores positivos, porque no intervalo entre pi2 e pi, o seno é positivo.

Passo 5

Então, juntando as duas partes: cot(x) = cos(x)sin(x) approx -10^+. Quando você tem um número negativo dividido por um número muito pequeno positivo, o resultado tende a -infty.

Resposta

Portanto, lim x pi^- cot (x) = -infty.

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