Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções.
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular as assíntotas horizontais e verticais da função
. Isso faz parte da matéria de funções racionais, onde a gente analisa como a função se comporta perto de certos valores de
. Vamos precisar entender o que são assíntotas horizontais e verticais e como encontrá-las usando limites e análise de denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas horizontais e verticais. As assíntotas horizontais indicam o comportamento da função quando
vai para
ou
. Já as assíntotas verticais aparecem onde o denominador da fração é zero, mas o numerador não é zero nesse ponto.
Passo 3
Vamos começar encontrando as assíntotas verticais. Para isso, precisamos achar os valores de
que fazem o denominador ser zero:
Resolvendo essa equação:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em
e
. Agora, precisamos verificar se o numerador não é zero nesses pontos. Substituindo
e
no numerador:
Para
:
Para
:
Como o numerador não é zero em nenhum desses pontos, temos que há assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite da função quando
vai para
e para
:
Observando os graus do numerador e do denominador, vemos que o grau do numerador (4) é maior que o grau do denominador (2). Quando o grau do numerador é maior, o limite tende para
ou
, dependendo do sinal. Nesse caso, como todos os coeficientes são positivos, o limite tende para
tanto para
indo para
quanto para
.
Isso significa que a função não tem assíntotas horizontais, mas possui uma oblíqua (ou curvilínea). Porém, como o exercício pede apenas assíntotas horizontais e verticais, não precisamos detalhar mais essa parte.
Resposta
As assíntotas verticais da função
estão em
e
. Não há assíntotas horizontais.
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