Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções.
f(x) = x^4 / (x^2 - 16)

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular as assíntotas horizontais e verticais da função . Isso faz parte da matéria de funções racionais, onde a gente analisa como a função se comporta perto de certos valores de . Vamos precisar entender o que são assíntotas horizontais e verticais e como encontrá-las usando limites e análise de denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas horizontais e verticais. As assíntotas horizontais indicam o comportamento da função quando vai para ou . Já as assíntotas verticais aparecem onde o denominador da fração é zero, mas o numerador não é zero nesse ponto.

Passo 3

Vamos começar encontrando as assíntotas verticais. Para isso, precisamos achar os valores de que fazem o denominador ser zero:
Resolvendo essa equação:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em e . Agora, precisamos verificar se o numerador não é zero nesses pontos. Substituindo e no numerador:
Para :
Para :
Como o numerador não é zero em nenhum desses pontos, temos que há assíntotas verticais em e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite da função quando vai para e para :
Observando os graus do numerador e do denominador, vemos que o grau do numerador (4) é maior que o grau do denominador (2). Quando o grau do numerador é maior, o limite tende para ou , dependendo do sinal. Nesse caso, como todos os coeficientes são positivos, o limite tende para tanto para indo para quanto para .
Isso significa que a função não tem assíntotas horizontais, mas possui uma oblíqua (ou curvilínea). Porém, como o exercício pede apenas assíntotas horizontais e verticais, não precisamos detalhar mais essa parte.

Resposta

As assíntotas verticais da função estão em e . Não há assíntotas horizontais.

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