y = 10^(1 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a função . Nosso objetivo aqui é entender melhor essa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais, que são parte da Matemática, mais especificamente no estudo de funções. Precisaremos analisar o domínio, o alcance (ou imagem), e o comportamento da função para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso das funções exponenciais, a base da potência, que aqui é 10, sempre deve ser positiva. Como 10 é positivo, não temos restrições para . Ou seja, o domínio dessa função é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos descobrir o alcance ou imagem da função. Isso significa encontrar todos os possíveis valores de que a função pode assumir. Sabemos que qualquer número positivo elevado a qualquer potência real também é positivo. Como sempre será positivo, o alcance dessa função é .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função para entender como ela se comporta conforme varia:
  • Quando :
  • Quando aumenta ou diminui (valores positivos e negativos grandes):
    O termo sempre será positivo e, conforme fica maior em valor absoluto, se torna mais negativo. Isso faz com que se aproxime de 0.
  • Quando :
Então, percebemos que a função atinge o valor máximo quando e diminui à medida que se afasta de zero.

Passo 5

Vamos desenhar o gráfico dessa função para visualizar melhor:
  1. Plotamos o ponto máximo em .
  2. Conforme se afasta de zero (tanto para valores positivos quanto negativos), diminui em direção a 0.
  3. A função nunca toca o eixo , já que sempre.
O gráfico terá uma forma de “campana”, simétrica em relação ao eixo , atingindo o ponto mais alto em .

Resposta

Resumindo, a função está definida para todos os números reais , seu valor mínimo é próximo de 0 quando tende para mais ou menos infinito, e atinge o valor máximo de 10 quando .

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