Calcule os limites abaixo.
lim x +infty x-2raiz2+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que o professor passou:
lim x +infty x-2raiz2+x
Esse exercício é de Cálculo de Limites, uma parte importante do estudo de funções e comportamento delas quando a variável se aproxima de um determinado valor, nesse caso, quando vai para mais infinito. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de limites e manipular a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador à medida que cresce sem limites. No numerador, temos , que, conforme aumenta, basicamente se comporta como , já que o -2 se torna insignificante comparado a . No denominador, temos , que também cresce à medida que aumenta, e é equivalente a para valores muito grandes de .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por x - 2raiz2 + x = x (1 - 2x)raizx (1 + 2x) = x (1 - 2x)raizx raiz1 + 2x , que é a maior potência de no numerador.
Então, temos:

Passo 4

Simplificando ainda mais, sabemos que x (1 - 2x)x^1/2 raiz1 + 2x = x^1 - 1/2 cdot 1 - 2xraiz1 + 2x = x^1/2 cdot 1 - 2xraiz1 + 2x , então:

Passo 5

Agora, vamos analisar cada parte separadamente:
  • x^1/2 cdot 1 = x^1/2 +infty quando x +infty tende a infinito conforme cresce.
  • tende a .
Então, multiplicando essas partes:

Resposta

O limite é infinito positivo, ou seja:
lim x +infty x-2raiz2+x = +infty

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