Calcule os limites abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que o professor passou:
Esse exercício é de Cálculo de Limites, uma parte importante do estudo de funções e comportamento delas quando a variável se aproxima de um determinado valor, nesse caso, quando
vai para mais infinito. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de limites e manipular a expressão para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador à medida que
cresce sem limites. No numerador, temos
, que, conforme
aumenta, basicamente se comporta como
, já que o -2 se torna insignificante comparado a
. No denominador, temos
, que também cresce à medida que
aumenta, e é equivalente a
para valores muito grandes de
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
, que é a maior potência de
no numerador.
Então, temos:
Passo 4
Simplificando ainda mais, sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos analisar cada parte separadamente:
-
tende a infinito conforme cresce. -
tende a .
Então, multiplicando essas partes:
Resposta
O limite é infinito positivo, ou seja:
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