Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções.
Passo 1
Então, a gente vai resolver um exercício que pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
. Estamos lidando com funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas horizontais e verticais e como identificá-las em uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem nos valores de
que fazem o denominador da função igual a zero, já que a função não pode ser dividida por zero. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Passo 3
Resolvendo a equação
, a gente isola o
:
Então tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Isso significa que existem duas assíntotas verticais na função, nos pontos onde
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, a gente analisa o comportamento da função quando
vai para
(infinito positivo) ou
(infinito negativo).
Em funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do polinômio do numerador e do denominador:
- Se o grau do numerador for menor que o do denominador, a assíntota horizontal é
. - Se os graus forem iguais, a assíntota é
, onde e são os coeficientes principais. - Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal.
Passo 5
Na nossa função
, o grau do numerador é 0 (já que é uma constante, 1) e o grau do denominador é 2. Como o grau do numerador é menor que o do denominador, a assíntota horizontal é
.
Resposta
As assíntotas verticais da função
estão em
e
. A assíntota horizontal é
.
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