Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções.
f(x) = 1/(x^2 - 4)

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício que pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Estamos lidando com funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas horizontais e verticais e como identificá-las em uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem nos valores de que fazem o denominador da função igual a zero, já que a função não pode ser dividida por zero. Então, vamos resolver a equação do denominador:

Passo 3

Resolvendo a equação , a gente isola o :
Então tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Isso significa que existem duas assíntotas verticais na função, nos pontos onde e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, a gente analisa o comportamento da função quando vai para (infinito positivo) ou (infinito negativo).
Em funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do polinômio do numerador e do denominador:
  • Se o grau do numerador for menor que o do denominador, a assíntota horizontal é .
  • Se os graus forem iguais, a assíntota é , onde e são os coeficientes principais.
  • Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal.

Passo 5

Na nossa função , o grau do numerador é 0 (já que é uma constante, 1) e o grau do denominador é 2. Como o grau do numerador é menor que o do denominador, a assíntota horizontal é .

Resposta

As assíntotas verticais da função estão em e . A assíntota horizontal é .

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