Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções.
f(x) = 1/(x^3 + x^2 - 6x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as assíntotas horizontais e verticais da função . Isso está relacionado ao estudo de funções racionais no cálculo, onde analisamos os comportamentos da função para identificar onde ela se aproxima de linhas retas chamadas assíntotas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os valores de que causam divisão por zero (assíntotas verticais) e como a função se comporta quando vai para infinitamente positivo ou negativo (assíntotas horizontais).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem nos valores de que fazem o denominador da fração igual a zero, já que a função não está definida nesses pontos e tende ao infinito. Então, vamos resolver a equação:
Podemos fatorar essa expressão:
Agora, fatorando o polinômio quadrático:
Assim, as soluções são:
Portanto, temos três assíntotas verticais nas abscissas , e .

Passo 3

Agora, vamos determinar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas descrevem o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo. Para funções racionais, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador.
Na nossa função :
  • O grau do numerador é 0 (já que é um número constante, 1).
  • O grau do denominador é 3.
Quando o grau do denominador é maior que o grau do numerador, a assíntota horizontal é .
Portanto, a função tem uma assíntota horizontal em .

Resposta

As assíntotas da função são:
  • Assíntotas verticais em , e .
  • Assíntota horizontal em .

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