Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L lim x 0^+(1+1x)^x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Isso envolve conceitos de limites e exponenciais. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a expressão usando logaritmos. Seja ln L = x cdot ln(1+1x) . Tirando o logaritmo dos dois lados, temos:
Queremos encontrar .

Passo 3

Agora, reescrevemos a expressão para aplicar a Regra de L’Hospital:
ln L = ln(1+1x)1x
À medida que se aproxima de 0 pela direita, vai para , então estamos diante de uma forma , que é ideal para usar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador: ddx ln(1+1x) = -1x^2 + x
Derivada do denominador: ddx (1x) = -1x^2

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na expressão do limite:
limx 0^+ -1x^2 + x-1x^2 = limx 0^+ x^2x^2 + x
Simplificando a fração, temos:
limx 0^+ xx + 1 = 01 = 0
Portanto, .

Resposta

Como , então . Assim, o limite é 1.

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