Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Se não existir, justifique.
Passo 1
E aí! Vamos calcular as assíntotas verticais e horizontais da função dada:
Para isso, precisamos entender o que são assíntotas verticais e horizontais. Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero. Já as assíntotas horizontais descrevem o comportamento da função quando
vai para
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Para isso, identificamos os valores de
que tornam o denominador igual a zero, pois nesses pontos a função pode tender ao infinito.
Passo 3
O denominador da função é:
Vamos resolver a equação:
Passo 4
Fatorando a equação quadrática:
Portanto, as soluções são:
Passo 5
Temos, então, duas possíveis assíntotas verticais em
e
. Mas precisamos verificar se, nesses pontos, o numerador também é zero. Se for, pode haver uma simplificação que indica que não há assíntota vertical, mas sim um ponto de descontinuidade removível.
Passo 6
Vamos verificar o numerador em
e
.
Para
:
Então, o numerador é
.
Para
:
Então, o numerador é
.
Passo 7
Em
, tanto o numerador quanto o denominador são zero, o que indica uma indeterminação do tipo
. Isso sugere que podemos ter uma assíntota vertical ou um ponto de “buraco” na função. Precisamos simplificar a função para verificar.
Em
, o numerador não é zero enquanto o denominador é zero, indicando que há uma assíntota vertical em
.
Passo 8
Vamos simplificar a função para
:
Podemos cancelar o fator
:
Agora, ao substituir
:
Portanto, em
, a função tem um ponto removível (não uma assíntota vertical).
Passo 9
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem observando o comportamento da função quando
tende a
ou
.
Para analisar isso, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador.
Numerador:
Dependendo do valor de
,
se comporta de maneira diferente.
Para
:
Então, o numerador se torna:
Denominador:
Então, para
muito grande, a função se comporta como:
Isso mostra que a função cresce sem limite quando
tende a
ou
, ou seja, não possui assíntotas horizontais.
Resposta
A função possui uma assíntota vertical em
. Não existe assíntota horizontal.
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Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
(a)
(a)
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de
até
(e) ;
(e)
Dê o domínio das funções abaixo:
(b)
(b)
Calcule a soma das séries abaixo.