Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Se não existir, justifique.
f(x) = ((x^2 - 1)(|x - 2| + x)) / (x^2 - 3x + 2)

Passo 1

E aí! Vamos calcular as assíntotas verticais e horizontais da função dada:
Para isso, precisamos entender o que são assíntotas verticais e horizontais. Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero. Já as assíntotas horizontais descrevem o comportamento da função quando vai para ou .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Para isso, identificamos os valores de que tornam o denominador igual a zero, pois nesses pontos a função pode tender ao infinito.

Passo 3

O denominador da função é:
Vamos resolver a equação:

Passo 4

Fatorando a equação quadrática:
Portanto, as soluções são:

Passo 5

Temos, então, duas possíveis assíntotas verticais em e . Mas precisamos verificar se, nesses pontos, o numerador também é zero. Se for, pode haver uma simplificação que indica que não há assíntota vertical, mas sim um ponto de descontinuidade removível.

Passo 6

Vamos verificar o numerador em e .
Para :
Então, o numerador é .
Para :
Então, o numerador é .

Passo 7

Em , tanto o numerador quanto o denominador são zero, o que indica uma indeterminação do tipo . Isso sugere que podemos ter uma assíntota vertical ou um ponto de “buraco” na função. Precisamos simplificar a função para verificar.
Em , o numerador não é zero enquanto o denominador é zero, indicando que há uma assíntota vertical em .

Passo 8

Vamos simplificar a função para :
Podemos cancelar o fator :
Agora, ao substituir :
Portanto, em , a função tem um ponto removível (não uma assíntota vertical).

Passo 9

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem observando o comportamento da função quando tende a ou .
Para analisar isso, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador.
Numerador:
Dependendo do valor de , se comporta de maneira diferente.
Para :
Então, o numerador se torna:
Denominador:
Então, para muito grande, a função se comporta como:
Isso mostra que a função cresce sem limite quando tende a ou , ou seja, não possui assíntotas horizontais.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em . Não existe assíntota horizontal.

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